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アリスタルコスの不等式
1/20 < x < 1/18 （※ x = sin( 3°）)
のp.62とは違う証明

斜辺の長さが1、鋭角の１つが3°の直角三角形を考える(p.61の図)。
まず、xは、半径が1で中心角が3°の扇形の円弧の長さより小さいので
　x < π/60
となる。ここで、π < 10/3　であることを考えると、
　x < 1/18
となる。一方、
上記、直角三角形の面積は、半径√(1-x^2)で中心角が3°の扇形
（つまり、直角三角形に内接する扇形）の面積より大きいので
　π(1-x^2)/120 < x √(1-x^2) / 2
すなわち、
　x > 1 / √(1 + (60/π)^2)
が得られるが、この右辺は1/20より大きいので、
　x > 1/20
となる。
これらの結果により、アリスタルコスの不等式が証明される。

解答者：goodbook 解答日時：2015-10-27 05:33:07

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