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レギオモンタヌスの問題1
連立方程式
x + y + z = 240
97x + 56 + 3z = 16047
の正の整数解を求める問題の解法

まず、2つの式からzを消去すると、
94x + 53y = 15327
次に、x' = 2x とおき、47 = 50 - 3、53 = 50 + 3であることを利用すると、
50(x' + y) - 3(x' - y) = 15327
と書きかえることができ、さらに15327 = 306×50 + 3×9とできることから、
50(x' + y - 306) = 3(x' - y + 9)
とできる。したがって、
x' + y - 306 = 3t
x' - y + 9 = 50t
すなわち、
4x = 53t + 297 = 53(t + 5) + 32
2y = -47t + 315 = 47(7 - t) - 14
が得られる。ここで、x,yは整数であることを考慮すると、
t + 5は4の倍数でなくてはならないので、t + 5 = 4sとおくと、
x = 53s + 8
y = 94(3 - s) - 7
となる。もとの式から、zは
z = 41s - 43
x,y,zが正の整数であることを考えると、結局s = 2のみがその条件を満たす。
結果、
(x,y,z) = (114,87,39)
が得られる。

解答者：goodbook 解答日時：2015-10-30 04:49:44

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