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数学難問BEST100 : 高校数学の知識なしでも解ける歴史的良問を厳選! の読書会ページ

数学難問BEST100 : 高校数学の知識なしでも解ける歴史的良問を厳選!(9784569823560)

数学難問BEST100 : 高校数学の知識なしでも解ける歴史的良問を厳選!

著者:小野田,博一

出版社:PHP研究所 (201503)

ISBN-10:4569823564

ISBN-13:9784569823560

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P.119の問題番号「Q64」への解答

この問題の別解答
※でも個人的には、以下の解答よりP.120にある解答の方が直感的で好きです。

1/2 + 2/4 + 3/8 + …
= 1/2 + 1/4 + 1/4 + 1/8 + 1/8 + 1/8 + …
= 1/2 ( 1 + 1/2 + 1/4 + … )
+1/4 ( 1 + 1/2 + 1/4 + … )
+1/8 ( 1 + 1/2 + 1/4 + … ) + …
= 1/2 ( 1 + 1/2 + 1/4 + … )^2   (1)
と変形できる。ここで、
f(n) = 1 + 1/2 + 1/4 + … + 1/2^n
とおく。f(n)は漸化式
f(n) - f(n-1) = 1/2^n , f(0) = 1
を満たす。さらに、
g(n) = 2^n f(n) + 1
とおくと、上記の漸化式は
g(n) = 2 g(n-1) , g(0) = 1
と変形でき、g(n)は等比数列として
g(n) = 2^{n+1}
となる。結局、
f(n) = 2 - 1/2^n
が得られるので、これを(1)式に代入し、nが十分大きいと考えると、
1/2 + 2/4 + 3/8 + … = 2
が得られる。

解答者:goodbook 解答日時:2015-12-04 04:29:07

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