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任意の三角形ABCの各辺に任意の点P,Q,Rがある
(それぞれ辺BC,CA,AB上にあり、AP,BQ,CRは一点で交わる）とき
　(AR/RB)*(BP/PC)*(CQ/QA) = 1

P.152とは別の解法：面積を利用する方法

△ABCの面積を1とする。
このとき、△ABXの面積は
△ABX = (AQ/AC)*(BX/BQ)
と
△ABX = (BP/BC)*(AX/AP)
の2つの表現ができる。この2つの表現から、
　BP/QA = (BC/AC)*(BX/BQ)*(AP/AX) …(1)
が得られる。同様に、
△BCX = (RB/AB)*(XC/RC) = (CQ/AC)*(XB/BQ)
△CAX = (PC/BC)*(AX/PA) = (AR/AB)*(XC/RC)
となり、それぞれ
　CQ/RB = (AC/AB)*(XC/RC)*(BQ/XB)　…(2)
　AR/PC = (AB/BC)*(AC/PA)*(RC/XC)　…(3)
が得られる。最後に
(1)(2)(3)式の両辺を掛け合わせると、
　(BP/QA)*(CQ/RB)*(AR/PC)
　 = (AR/RB)*(BP/PC)*(CQ/QA) = 1
が得られる。

解答者：goodbook 解答日時：2015-12-12 07:34:30

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