ストロガッツ非線形ダイナミクスとカオス : 数学的基礎から物理・生物・化学・工学への応用まで　の読書会ページ

投稿一覧に戻る

系$\dot{x} = -y, \ \ \dot{y} = -x$

(a) 省略
(b) $\dot{x}$の式を$\dot{y}$の式で割ると、
\[ \frac{\dot{x}}{\dot{y}} = \frac{y}{x} \\
x \dot{x} - y \dot{y} = 0 \\
\frac{1}{2} \frac{d}{dt} ( x^2 - y^2 ) = 0 \]となるので、この両辺を積分すると、
\[ x^2 - y^2 = C \]が得られる。

(c) 安定多様体は$y=x$、不安定多様体は$y=-x$となる。

(d) 系を$u=x+y, \ \ v=x-y$として書き直すと、
\[ \dot{u} = \dot{x} + \dot{y} = -y -x = -u \\
\dot{v} = \dot{x} - \dot{y} = -y + x = v \]となる。これらの方程式を解くと、
\[ u(t) = u_0 e^{-t}, \ \ v(t) = v_0 e^t \]が得られる。

(e) 安定多様体は$y=x \ \ \to \ \ v = x- y =0$、即ち$u$軸となり、
不安定多様体は$y=-x \ \ \to \ \ u = x+ y =0$、即ち$v$軸となる。

(f) (d)より
\[ x(t) = \frac{1}{2} (u_0 e^{-t} + v_0 e^t) \\
y(t) = \frac{1}{2} (u_0 e^{-t} - v_0 e^t) \]となる。ここで、
\[x_0 = x(0) = \frac{1}{2} (u_0 + v_0), \ \ y_0 = y(0) = \frac{1}{2} (u_0 - v_0) \]とすると、
\[ u_0 = x_0 + y_0, \ \ v_0 = x_0 - y_0 \]となるので、
\[ x(t) = \frac{x_0 + y_0}{2} e^{-t} + \frac{x_0 - y_0}{2} e^t = x_0 \cosh t - y_0 \sinh t \\
y(t) = \frac{x_0 + y_0}{2} e^{-t} - \frac{x_0 - y_0}{2} e^t = - x_0 \sinh t + y_0 \cosh t \]を得る。

解答者：goodbook 解答日時：2020-07-10 04:29:19

コメントを書き込む

問題解答へのコメント

まだ、コメントはありません。