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ストロガッツ非線形ダイナミクスとカオス(9784621085806)

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ストロガッツ非線形ダイナミクスとカオス

著者：スティーヴン・H．ストロガッツ/田中久陽

出版社：丸善出版 (2015年01月30日頃)

ISBN-10：4621085808

ISBN-13：9784621085806

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P.204の問題番号「6.4.6」への解答

$ \dot{N_1} = r_1 N_1(1-N_1/K_1) -b_1 N_1 N_2, \ \ \dot{N_2} = r_2 N_2(1-N_2/K_2) -b_2 N_1 N_2 $
(a) $N_1, \ N_2, \ t$を
\[ N_1 = \frac{r_1}{b_2} x, \ \ N_2 = \frac{r_1}{b_1} y, \ \ t = \frac{1}{r_1} \tau \]とリスケールすると、
\[ x' = x (1-x/k_1-y), \ \ y' = y ( \rho - x -y/k_2 ) \]となる。ここで、$\rho = r_2/r_1, \ \ k_1 = b_2 K_1/r_1, \ \ k_1 = b_1 K_2/r_2$とおいた。
したがって、無次元量は３つ必要となる。

(b) ヌルクラインを描くことで、4つの定性的に異なる相図があることがわかる。
i) $k_1 < \rho, \ \ k_2 \rho < 1$のとき
この系の固定点は$(0,0), \ \ (k_1,0), \ \ (0,k_2 \rho), \ \ ( k_1(1 - k_2 \rho)/(1-k_1 k_2), k_2(\rho-k_1)/(1-k_1 k_2)$。
また、ヤコビ行列は
\[ A = \begin{pmatrix} 1-2x/k_1 - y & -x \\ -y & \rho - x - 2y/k_2 \end{pmatrix} \]となる。以下、固定点ごとに分類。
\[ (0,0) \ : \ A = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & \rho \end{pmatrix} \] $\tau = 1+\rho > 0, \ \ \Delta = \rho > 0, \ \ \tau^2 - 4 \Delta = (1-\rho)^2 \geq 0$となるので、不安定ノードまたは不安定な縮退したノードとなる。
\[ \lambda = 1 \ \ \to \ \ \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \end{pmatrix}, \ \
\lambda = \rho \ \ \to \ \ \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \end{pmatrix} \]
\[ (k_1,0) \ : \ A = \begin{pmatrix} -1 & -k_1 \\ 0 & \rho - k_1 \end{pmatrix} \] $\tau = \rho-k_1-1, \ \ \Delta = k_1-\rho < 0$となるので、サドル点。
\[ \lambda = -1 \ \ \to \ \ \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \end{pmatrix}, \ \
\lambda = \rho-k_1 \ \ \to \ \ \begin{pmatrix} k_1 \\ k_1-\rho-1 \end{pmatrix} \]
\[ (0,k_2 \rho) \ : \ A = \begin{pmatrix} 1-k_2 \rho & 0 \\ -k_2 \rho & -\rho \end{pmatrix} \] $\tau = 1-k_2 \rho-\rho, \ \ \Delta = - \rho (1-k_2 \rho ) < 0$となるので、サドル点。
\[ \lambda = 1 - k_2 \rho \ \ \to \ \ \begin{pmatrix} \rho + 1 \\ -k_2 \rho \end{pmatrix}, \ \
\lambda = -\rho \ \ \to \ \ \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \end{pmatrix} \]

解答者：goodbook 解答日時：2020-10-21 05:04:46

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問題解答へのコメント

1

(b) i) $k_1 < \rho, \ \ k_2 \rho < 1$の続き
\[ ( k_1(1 - k_2 \rho)/(1-k_1 k_2), k_2(\rho-k_1)/(1-k_1 k_2) ) \ : \\ A = -\frac{1}{1-k_1k_2}\begin{pmatrix} 1-k_2 \rho & k_1(1-k_2 \rho) \\ k_2 (\rho-k_1) & \rho - k_1 \end{pmatrix} \\ \tau = - \frac{(\rho-k_1)+(1-k_2 \rho)}{1-k_1k_2} < 0, \ \ \Delta = \frac{(\rho-k_1)(1-k_2 \rho)}{1-k_1k_2} > 0, \\ \tau^2 - 4 \Delta = \frac{ \{ (\rho - k_1)-(1-k_1 \rho) \}^2 + 4k_1 k_2 (\rho - k_1)(1-k_2 \rho)}{(1-k_1k_2)^2} >0 \]となるので、安定ノード。
\[ \lambda = \frac{ - \{(\rho-k_1)+(1-k_2 \rho) \}+ \sqrt{\{ (\rho - k_1)-(1-k_2 \rho) \}^2 + 4k_1 k_2 (\rho - k_1)(1-k_2 \rho)} }{ 2(1-k_1 k_2) } \\ \to \ \ \begin{pmatrix} 2 k_1 (1-k_2 \rho) \\ (\rho-k_1)-(1-k_2 \rho) - \sqrt{\{ (\rho - k_1)-(1-k_2 \rho) \}^2 + 4k_1 k_2 (\rho - k_1)(1-k_2 \rho)} \end{pmatrix}, \\
\lambda = \frac{ - \{(\rho-k_1)+(1-k_2 \rho) \}- \sqrt{\{ (\rho - k_1)-(1-k_2 \rho) \}^2 + 4k_1 k_2 (\rho - k_1)(1-k_2 \rho)} }{ 2(1-k_1 k_2) } \\ \to \ \ \begin{pmatrix} 2 k_1 (1-k_2 \rho) \\ (\rho-k_1)-(1-k_2 \rho) + \sqrt{\{ (\rho - k_1)-(1-k_2 \rho) \}^2 + 4k_1 k_2 (\rho - k_1)(1-k_2 \rho)} \end{pmatrix} \]
この系の相図（$\rho=1.5,\ \ k_1=1,\ \ k_2 = 0.5$）は添付図(problem 6.4.6 b i)のようになる。この場合、長時間経過すると、種1と種2が共存する安定ノードに近づいていく。

投稿者：goodbook 投稿日時：2020-10-21 05:14:47

2

ii) $k_1 > \rho, \ \ k_2 \rho < 1$のとき
この系の固定点は$(0,0), \ \ (k_1,0), \ \ (0,k_2 \rho)$。
以下、固定点ごとに分類。
\[ (0,0) \ : \ A = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & \rho \end{pmatrix} \] $\tau = 1+\rho > 0, \ \ \Delta = \rho > 0, \ \ \tau^2 - 4 \Delta = (1-\rho)^2 \geq 0$となるので、不安定ノードまたは不安定な縮退したノードとなる。
\[ \lambda = 1 \ \ \to \ \ \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \end{pmatrix}, \ \
\lambda = \rho \ \ \to \ \ \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \end{pmatrix} \]
\[ (k_1,0) \ : \ A = \begin{pmatrix} -1 & -k_1 \\ 0 & -(k_1-\rho) \end{pmatrix} \] $\tau = -(k_1-\rho+1)<0, \ \ \Delta = k_1-\rho > 0, \ \ \tau^2 - 4 \Delta = (k_1-\rho-1)^2 \geq 0$となるので、安定ノードまたは安定な縮退したノードとなる。
\[ \lambda = -1 \ \ \to \ \ \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \end{pmatrix}, \ \
\lambda = -(k_1-\rho) \ \ \to \ \ \begin{pmatrix} k_1 \\ k_1-\rho-1 \end{pmatrix} \]
\[ (0,k_2 \rho) \ : \ A = \begin{pmatrix} 1-k_2 \rho & 0 \\ -k_2 \rho & -\rho \end{pmatrix} \] $\tau = 1-k_2 \rho-\rho, \ \ \Delta = - \rho (1-k_2 \rho ) < 0$となるので、サドル点。
\[ \lambda = 1 - k_2 \rho \ \ \to \ \ \begin{pmatrix} \rho + 1 \\ -k_2 \rho \end{pmatrix}, \ \
\lambda = -\rho \ \ \to \ \ \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \end{pmatrix} \]
この系の相図（$\rho=1.5,\ \ k_1=2,\ \ k_2 = 0.5$）は添付図(problem 6.4.6 b ii)のようになる。この場合、長時間経過すると、種1は環境収容力$K_1$に近づき、種2はゼロに近づく。

投稿者：goodbook 投稿日時：2020-10-21 05:17:51

3

iii) $k_1 < \rho, \ \ k_2 \rho > 1$のとき
この系の固定点は$(0,0), \ \ (k_1,0), \ \ (0,k_2 \rho)$。
以下、固定点ごとに分類。
\[ (0,0) \ : \ A = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & \rho \end{pmatrix} \] $\tau = 1+\rho > 0, \ \ \Delta = \rho > 0, \ \ \tau^2 - 4 \Delta = (1-\rho)^2 \geq 0$となるので、不安定ノードまたは不安定な縮退したノードとなる。
\[ \lambda = 1 \ \ \to \ \ \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \end{pmatrix}, \ \
\lambda = \rho \ \ \to \ \ \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \end{pmatrix} \]
\[ (k_1,0) \ : \ A = \begin{pmatrix} -1 & -k_1 \\ 0 & \rho - k_1 \end{pmatrix} \] $\tau = \rho-k_1-1, \ \ \Delta = k_1-\rho < 0$となるので、サドル点。
\[ \lambda = -1 \ \ \to \ \ \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \end{pmatrix}, \ \
\lambda = \rho-k_1 \ \ \to \ \ \begin{pmatrix} k_1 \\ -(\rho-k_1)-1 \end{pmatrix} \]
\[ (0,k_2 \rho) \ : \ A = \begin{pmatrix} -(k_2 \rho-1) & 0 \\ -k_2 \rho & -\rho \end{pmatrix} \] $\tau = -(k_2 \rho-1)-\rho<0, \ \ \Delta = \rho (k_2 \rho-1 ) > 0, \ \ \tau^2 - 4 \Delta = (k_2 \rho - 1-\rho)^2 \geq 0$となるので、安定ノードまたは安定な縮退したノードとなる。
\[ \lambda = -( k_2 \rho-1) \ \ \to \ \ \begin{pmatrix} \rho + 1 \\ -k_2 \rho \end{pmatrix}, \ \
\lambda = -\rho \ \ \to \ \ \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \end{pmatrix} \]
この系の相図（$\rho=1.5,\ \ k_1=1,\ \ k_2 = 1$）は添付図(problem 6.4.6 b iii)のようになる。この場合、長時間経過すると、種2は環境収容力$K_2$に近づき、種1はゼロに近づく。

投稿者：goodbook 投稿日時：2020-10-21 05:20:19

4

iv) $k_1 > \rho, \ \ k_2 \rho > 1$のとき
この系の固定点は$(0,0), \ \ (k_1,0), \ \ (0,k_2 \rho), \ \ ( k_1(k_2 \rho-1)/(k_1 k_2-1), k_2(k_1-\rho)/(k_1 k_2-1)$。
以下、固定点ごとに分類。
\[ (0,0) \ : \ A = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & \rho \end{pmatrix} \] $\tau = 1+\rho > 0, \ \ \Delta = \rho > 0, \ \ \tau^2 - 4 \Delta = (1-\rho)^2 \geq 0$となるので、不安定ノードまたは不安定な縮退したノードとなる。
\[ \lambda = 1 \ \ \to \ \ \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \end{pmatrix}, \ \
\lambda = \rho \ \ \to \ \ \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \end{pmatrix} \]
\[ (k_1,0) \ : \ A = \begin{pmatrix} -1 & -k_1 \\ 0 & -(k_1-\rho) \end{pmatrix} \] $\tau = -(k_1-\rho+1)<0, \ \ \Delta = k_1-\rho > 0, \ \ \tau^2 - 4 \Delta = (k_1-\rho-1)^2 \geq 0$となるので、安定ノードまたは安定な縮退したノードとなる。
\[ \lambda = -1 \ \ \to \ \ \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \end{pmatrix}, \ \
\lambda = -(k_1-\rho) \ \ \to \ \ \begin{pmatrix} k_1 \\ k_1-\rho-1 \end{pmatrix} \]
\[ (0,k_2 \rho) \ : \ A = \begin{pmatrix} -(k_2 \rho-1) & 0 \\ -k_2 \rho & -\rho \end{pmatrix} \] $\tau = -(k_2 \rho-1)-\rho<0, \ \ \Delta = \rho (k_2 \rho-1 ) > 0, \ \ \tau^2 - 4 \Delta = (k_2 \rho - 1-\rho)^2 \geq 0$となるので、安定ノードまたは安定な縮退したノードとなる。
\[ \lambda = -( k_2 \rho-1) \ \ \to \ \ \begin{pmatrix} \rho + 1 \\ -k_2 \rho \end{pmatrix}, \ \
\lambda = -\rho \ \ \to \ \ \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \end{pmatrix} \]

投稿者：goodbook 投稿日時：2020-10-21 05:23:45

5

(b) iv) $k_1 > \rho, \ \ k_2 \rho > 1$の続き
\[ ( k_1(k_2 \rho-1)/(k_1 k_2-1), k_2(k_1-\rho)/(k_1 k_2-1)) \ : \\ A = -\frac{1}{k_1k_2-1}\begin{pmatrix} k_2 \rho-1 & k_1(k_2 \rho-1) \\ k_2 (k_1-\rho) & k_1-\rho \end{pmatrix} \\ \tau = - \frac{(k_1-\rho)+(k_2 \rho-1)}{k_1k_2-1} < 0, \ \ \Delta = -\frac{(k_1-\rho)(k_2 \rho-1)}{k_1k_2-1} < 0 \]となるので、サドル点。
\[ \lambda = -\frac{ \{(k_1 -\rho)+(k_2 \rho-1) \}+ \sqrt{\{ (k_1- \rho)+(k_2 \rho-1) \}^2 + 4(k_1 k_2-1) (k_1-\rho)(k_2 \rho-1)} }{ 2(k_1 k_2-1) } \\ \to \ \ \begin{pmatrix} 2 k_1 (k_2 \rho-1) \\ (k_1-\rho)-(k_2 \rho-1) + \sqrt{\{ (k_1-\rho)+(k_2 \rho-1) \}^2 + 4(k_1 k_2-1) (k_1-\rho)(k_2 \rho-1)} \end{pmatrix}, \\
\lambda = \frac{ -\{(k_1 -\rho)+(k_2 \rho-1) \}+ \sqrt{\{ (k_1- \rho)+(k_2 \rho-1) \}^2 + 4(k_1 k_2-1) (k_1-\rho)(k_2 \rho-1)} }{ 2(k_1 k_2-1) } \\ \to \ \ \begin{pmatrix} 2 k_1 (k_2 \rho-1) \\ (k_1-\rho)-(k_2 \rho-1) - \sqrt{\{ (k_1-\rho)+(k_2 \rho-1) \}^2 + 4(k_1 k_2-1) (k_1-\rho)(k_2 \rho-1)} \end{pmatrix} \]
この系の相図（$\rho=1.5,\ \ k_1=2,\ \ k_2 = 1$）は添付図(problem 6.4.6 b iv)のようになる。この場合、長時間経過すると、$(k_1,0)$の吸引領域では、種1は環境収容力$K_1$に近づき、種2はゼロに近づく。$(0,k_2 \rho)$の吸引領域では、種2は環境収容力$K_2$に近づき、種1はゼロに近づく。

(c) (b)の結果より２つの種が安定に共存できる条件は、「i) $k_1 < \rho, \ \ k_2 \rho <1$」の場合の
\[ \frac{1}{K_1} < \frac{b_2}{r_2}, \ \ \frac{1}{K_2} < \frac{b_1}{r_1} \]である。また、この系の方程式を
\[ \dot{N_1} = r_1 N_1 \left( 1-\frac{1}{K_1}N_1 -\frac{b_1}{r_1} N_2 \right), \ \ \dot{N_2} = r_2 N_2 \left( 1 -\frac{b_2}{r_2} N_1 -\frac{1}{K_2}N_2 \right) \]とかくと、上記条件は、種間の競争による生存への影響が各種種内の競争による影響よりも小さいことを表している。

投稿者：goodbook 投稿日時：2020-10-21 05:29:21

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