ストロガッツ非線形ダイナミクスとカオス : 数学的基礎から物理・生物・化学・工学への応用まで　の読書会ページ

投稿一覧に戻る

系$\ddot{x} = x^3 -x$
(a) この系をベクトル場として表すと、
$ \dot{x} = y, \ \ \dot{y} = x^3 -x$
この系の固定点は$(0,0), \ \ (\pm 1,0)$。
また、ヤコビ行列は
\[ A = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 3x^2-1 & 0 \end{pmatrix} \]となる。以下、固定点ごとに分類。
\[ (0,0) \ : \ A = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ -1 & 0 \end{pmatrix} \] $\tau = 0, \ \ \Delta = 1>0$となるので、センターと予想される。
\[ (\pm 1,0) \ : \ A = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 2 & 0 \end{pmatrix} \] $\tau = 0, \ \ \Delta = -2<0$となるので、サドル点。
\[ \lambda = \sqrt{2} \ \ \to \ \ \begin{pmatrix} 1 \\ \sqrt{2} \end{pmatrix}, \ \
\lambda = -\sqrt{2} \ \ \to \ \ \begin{pmatrix} 1 \\ -\sqrt{2} \end{pmatrix} \]

(b) この系の方程式の両辺に$\dot{x}$をかけると、
\[ \dot{x} \ddot{x} = x^3 \dot{x} - x \dot{x} \\
\frac{d}{dt} \left[ \frac{1}{2} \dot{x}^2 - \frac{1}{4} x^4 + \frac{1}{2} x^2 \right] = 0 \]したがって、保存量は
\[ E = \frac{1}{2} y^2 - \frac{1}{4} x^4 + \frac{1}{2} x^2 \]となる。

(c) 相図は添付図のようになる。

解答者：goodbook 解答日時：2020-10-25 08:41:30

コメントを書き込む

問題解答へのコメント

まだ、コメントはありません。