ストロガッツ非線形ダイナミクスとカオス　の読書会ページ

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系$\ddot{x} = x - x^2$
(a) この系をベクトル場として表すと、
$ \dot{x} = y, \ \ \dot{y} = x - x^2$
この系の固定点は$(0,0), \ \ (1,0)$。
また、ヤコビ行列は
\[ A = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 1 - 2x & 0 \end{pmatrix} \]となる。以下、固定点ごとに分類。
\[ (0,0) \ : \ A = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix} \] $\tau = 0, \ \ \Delta = -1<0$となるので、サドル点。
\[ \lambda = 1 \ \ \to \ \ \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \end{pmatrix}, \ \
\lambda = -1 \ \ \to \ \ \begin{pmatrix} 1 \\ -1 \end{pmatrix} \]
\[ (1,0) \ : \ A = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ -1 & 0 \end{pmatrix} \] $\tau = 0, \ \ \Delta = 1>0$となるので、センターと予想される。

(b) 相図は添付図のようになる。

(c) この系の保存量は、
\[ E = \frac{1}{2} y^2 - \frac{1}{2} x^2 + \frac{1}{3} x^3 \]となる。ホモクリニック軌道は$(0,0)$を通るので、その軌道の式は
\[ \frac{1}{2} y^2 - \frac{1}{2} x^2 + \frac{1}{3} x^3 = 0 \]となる。

解答者：goodbook 解答日時：2020-10-26 04:16:49

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