ストロガッツ非線形ダイナミクスとカオス　の読書会ページ

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系$\ddot{x} = a x - x^2$
この系をベクトル場として表すと、
$ \dot{x} = y, \ \ \dot{y} = a x - x^2$
この系の固定点は$(0,0),\ \ (a,0)$。ヤコビ行列は
\[ A = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ a-2x & 0 \end{pmatrix} \]
i) $a<0$のとき
\[ (0,0) \ : \ A = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ a & 0 \end{pmatrix} \] $\tau = 0, \ \ \Delta = -a>0$となるので、センターと予想される。
\[ (a,0) \ : \ A = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ -a & 0 \end{pmatrix} \] $\tau = 0, \ \ \Delta = a<0$となるので、サドル点。
\[ \lambda = \sqrt{-a} \ \ \to \ \ \begin{pmatrix} 1 \\ \sqrt{-a} \end{pmatrix}, \ \
\lambda = -\sqrt{-a} \ \ \to \ \ \begin{pmatrix} 1 \\ -\sqrt{-a} \end{pmatrix} \]ii) $a=0$のとき
\[ (0,0) \ : \ A = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 0 & 0 \end{pmatrix} \] $\tau = 0, \ \ \Delta = 0$となるので、孤立していない固定点と予想される。
iii) $a>0$のとき
\[ (0,0) \ : \ A = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ a & 0 \end{pmatrix} \] $\tau = 0, \ \ \Delta = -a<0$となるので、サドル点。
\[ \lambda = \sqrt{a} \ \ \to \ \ \begin{pmatrix} 1 \\ \sqrt{a} \end{pmatrix}, \ \
\lambda = -\sqrt{a} \ \ \to \ \ \begin{pmatrix} 1 \\ -\sqrt{a} \end{pmatrix} \]
\[ (a,0) \ : \ A = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ -a & 0 \end{pmatrix} \] $\tau = 0, \ \ \Delta = a>0$となるので、センターと予想される。
これらの相図は添付図のようになる。

解答者：goodbook 解答日時：2020-10-28 05:26:21

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