ストロガッツ非線形ダイナミクスとカオス　の読書会ページ

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(a) 系$\dot{x} = f(x,y), \ \ \dot{y} = g(x,y)$が勾配系であるならば、$\partial f / \partial y = \partial g / \partial x$。
証明）系が勾配系であるので、
\[ f(x,y) = -\frac{\partial V(x,y)}{\partial x}, \ \ g(x,y) = -\frac{\partial V(x,y)}{\partial y} \]となるポテンシャル$V(x,y)$が存在する。このとき、
\[ \frac{ \partial f(x,y)}{\partial y} = -\frac{\partial^2 V(x,y)}{\partial y \partial x}, \ \ \frac{ \partial g(x,y)}{\partial x} = -\frac{\partial^2 V(x,y)}{\partial x \partial y} \]となり、$V(x,y)$が連続微分可能な関数であることを考慮すると、
\[ \frac{\partial f(x,y)}{\partial y} = \frac{\partial g(x,y)}{ \partial x} \]が成り立つ。

(b) $\partial f / \partial y = \partial g / \partial x$ならば、系$\dot{x} = f(x,y), \ \ \dot{y} = g(x,y)$は勾配系か？
まず、
\[ \frac{\partial f(x,y)}{\partial y} = \frac{\partial g(x,y)}{ \partial x} = v(x,y) \]とおくと、
\[ f(x,y)= \int^y v(x,y') d y', \ \ g(x,y)= \int^x v(x',y) d x' \]と表すことができる。次に、$f, \ g$をそれぞれ、
\[ f(x,y) = -\frac{\partial V_f(x,y)}{\partial x}, \ \ g(x,y) = -\frac{\partial V_g(x,y)}{\partial y} \]と表すことができるとすると、
\[ V_f(x,y)= -\int^x \left( \int^y v(x',y') d y' \right) d x', \ \ V_g(x,y)= -\int^y \left( \int^x v(x',y') d x' \right) d y' \]となる。$f,g$が滑らかな関数であることを考慮すると、
\[ V_f(x,y) = V_g(x,y) \]となり、これらの関数をポテンシャル関数とみなすことができる。したがって、系$\dot{x} = f(x,y), \ \ \dot{y} = g(x,y)$は勾配系となる。

解答者：goodbook 解答日時：2021-01-23 05:34:41

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