ストロガッツ非線形ダイナミクスとカオス : 数学的基礎から物理・生物・化学・工学への応用まで　の読書会ページ

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(a) $\dot{x}=y^2+y \cos x, \ \ \dot{y} = 2xy + \sin x $
まず、
\[ -\frac{\partial V(x,y)}{\partial x} = y^2 + y \cos x \]より
\[ V(x,y) = -x y^2 - y \sin x + C(y) \]となる。ここで$C(y)$は$y$の関数である。これを、
\[ -\frac{\partial V(x,y)}{\partial y} = 2xy + \sin x \]に代入すると、
\[ \frac{d C(y)}{d y} = 0 \]が得られる。つまり、$C(y)$は定数項である。したがって、$C(y)=0$と選ぶと、
\[ V(x,y) = -x y^2 - y \sin x \]となる。


(b) $\dot{x} = 3x^2-1-e^{2y}, \ \ \dot{y} = -2 x e^{2y} $
まず、
\[ -\frac{\partial V(x,y)}{\partial x} = 3x^2-1-e^{2y} \]より
\[ V(x,y) = -x^3 + x + x e^{2y} + C(y) \]となる。ここで$C(y)$は$y$の関数である。これを、
\[ -\frac{\partial V(x,y)}{\partial y} = -2 x e^{2y} \]に代入すると、
\[ \frac{d C(y)}{d y} = 0 \]が得られる。つまり、$C(y)$は定数項である。したがって、$C(y)=0$と選ぶと、
\[ V(x,y) =-x^3 + x + x e^{2y} \]となる。

解答者：goodbook 解答日時：2021-01-23 06:02:09

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