ストロガッツ非線形ダイナミクスとカオス　の読書会ページ

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系$\dot{x}=y+2xy, \ \ \dot{y} = x+x^2-y^2$
(a) $f(x,y) = y+2xy, \ \ g(x,y) = x+x^2-y^2$とおくと、
\[ \frac{ \partial f(x,y)}{\partial y} = 1+2x, \ \ \frac{ \partial g(x,y)}{\partial x} = 1+2x \]となるので、$\partial f / \partial y = \partial g / \partial x$が成り立つ。

(b) まず、
\[ -\frac{\partial V(x,y)}{\partial x} = y +2xy \]より
\[ V(x,y) = -x y -x^2 y +C(y) \]となる。ここで$C(y)$は$y$の関数である。これを、
\[ -\frac{\partial V(x,y)}{\partial y} = x + x^2 - y^2 \]に代入すると、
\[ \frac{d C(y)}{d y} = y^2 \]が得られ、定数項を省略すると、$C(y)=y^3/3$となる。したがって、
\[ V(x,y) = -x y -x^2 y +\frac{1}{3} y^3 \]となる。

(c) この系の固定点は$(0,0), \ \ (-1,0)$。以下、固定点ごとに分類。
\[ (0,0) \ : \ A = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix}, \ \ \tau=0, \ \ \Delta = -1 \]となるので、サドル点である。
\[ \lambda = 1 \ \ \to \ \ \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \end{pmatrix}, \ \
\lambda = -1 \ \ \to \ \ \begin{pmatrix} 1 \\ -1 \end{pmatrix} \]
\[ (-1,0) \ : \ A = \begin{pmatrix} 0 & -1 \\ -1 & 0 \end{pmatrix}, \ \ \tau=0, \ \ \Delta = -1 \]となるので、サドル点である。
\[ \lambda = 1 \ \ \to \ \ \begin{pmatrix} 1 \\ -1 \end{pmatrix}, \ \
\lambda = -1 \ \ \to \ \ \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \end{pmatrix} \]相図は添付図のようになる。

解答者：goodbook 解答日時：2021-01-23 09:28:26

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