ストロガッツ非線形ダイナミクスとカオス　の読書会ページ

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勾配系の軌道は常に等ポテンシャル曲線に直交する。
証明）等ポテンシャル曲線上の任意の点$(x,y)$とその点での接線ベクトルを$(u,v)$とする。このとき、十分小さな$\varepsilon$に対して、
\[ V(x,y) = V(x+\varepsilon u, y+\varepsilon v) \]と置くことができる。右辺を展開すると、
\[ V(x+\varepsilon u, y+\varepsilon v) = V(x,y) + \varepsilon \frac{ \partial V(x,y) }{\partial x} u + \varepsilon \frac{ \partial V(x,y) }{\partial y} v \]となる。したがって、
\[ \frac{ \partial V(x,y) }{\partial x} u + \frac{ \partial V(x,y) }{\partial y} v = 0 \]が得られる。ここで、
\[ \dot{x} = - \frac{ \partial V(x,y) }{\partial x}, \ \ \dot{y} = - \frac{ \partial V(x,y) }{\partial y} \]であることを考慮すると、
\[ \dot{x} u + \dot{y} v = 0 \]となる。これは勾配系の軌道が等ポテンシャル曲線に直交することを示している。

解答者：goodbook 解答日時：2021-01-23 10:41:17

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