ストロガッツ非線形ダイナミクスとカオス　の読書会ページ

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(a) $\dot{x} = y+x^2 y, \ \ \dot{y}=-x + 2xy $
\[ \frac{ \partial f(x,y)}{\partial y} = 1+x^2, \ \ \frac{ \partial g(x,y)}{\partial x} = -1+2y \]となるので、この系は勾配系ではない。

(b) $\dot{x} = 2x, \ \ \dot{y} = 8y $
\[ \frac{ \partial f(x,y)}{\partial y} = 0, \ \ \frac{ \partial g(x,y)}{\partial x} = 0 \]となるので、この系は勾配系となり、ポテンシャル関数は
\[V(x,y) = -x^2-4y^2 \]となる。この系の固定点は$(0,0)$。ヤコビ行列は
\[ A = \begin{pmatrix} 2 & 0 \\ 0 & 8 \end{pmatrix}, \ \ \tau=10, \ \ \Delta = 16, \ \ \tau^2 - 4 \Delta = 36 \]となるので、不安定ノードとなる。
このときの相図と等ポテンシャル曲線は添付図のようになる。

解答者：goodbook 解答日時：2021-01-23 13:01:21

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問題解答へのコメント

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(c) $\dot{x} = -2x e^{x^2+y^2}, \ \ \dot{y} = -2y e^{x^2+y^2}$ \[ \frac{ \partial f(x,y)}{\partial y} = -4xy e^{x^2+y^2}, \ \ \frac{ \partial g(x,y)}{\partial x} = -4xy e^{x^2+y^2} \]となるので、この系は勾配系となり、ポテンシャル関数は \[V(x,y) = e^{x^2+y^2} \]となる。この系の固定点は$(0,0)$。ヤコビ行列は \[ A = \begin{pmatrix} -2 & 0 \\ 0 & -2 \end{pmatrix}, \ \ \tau=-4, \ \ \Delta = 4, \ \ \tau^2 - 4 \Delta = 0 \]となるので、安定なスターノードとなる。 このときの相図と等ポテンシャル曲線は添付図のようになる。 投稿者：goodbook 投稿日時：2021-01-23 13:02:48