ストロガッツ非線形ダイナミクスとカオス　の読書会ページ

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系$\dot{x}=-x+2y^3-2y^4, \ \ \dot{y}=-x-y+xy$は周期解をもたない。
証明）まず、この系の固定点は$(0,0)$のみである。次に、$V=x^m+ay^n$とおくと、
\[ \begin{align}
\dot{V} &= m x^{m-1} \dot{x} + na y^{n-1} \dot{y} \\
&= m x^{m-1} (-x+2y^3-2y^4) + na y^{n-1} (-x-y+xy) \\
&= -mx^m -nay^n + 2mx^{m-1}y^3 -naxy^{n-1} -2mx^{m-1}y^4 +naxy^n
\end{align}
\]となる。$V$が正定値であるためには$m, \ n$は偶数、$a>0$でなければならない。これを考慮すると、$\dot{V}<0$が成り立つためには、
\[ 2mx^{m-1}y^3 -naxy^{n-1}=0, \ \ -2mx^{m-1}y^4 +naxy^n = 0 \]であることが期待される。これらのことから、$m=2, \ \ n=4, \ \ a=1$が得られ、
\[ V= x^2 + y^4, \ \ \dot{V} = -2x^2 -4y^4 \]となる。したがって、$V>0$かつ$\dot{V}<0$がすべての$(x,y) \neq (0,0)$に対して成り立つ。ゆえに、$V=x^2+y^4$はリアプノフ関数であり、この系は周期解をもたない。

解答者：goodbook 解答日時：2021-01-24 07:00:34

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