ストロガッツ非線形ダイナミクスとカオス　の読書会ページ

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子供のブランコ遊びの単純なモデル$\ddot{x} + (1 + \varepsilon \gamma + \varepsilon \cos 2t ) \sin x = 0, \ \ (0< \varepsilon \ll 1 )$

(a) 微小な$x$の場合を考え、$\ddot{x} + (1 + \varepsilon \gamma + \varepsilon \cos 2t ) x = 0$に置き換える。
このとき、$h = (\gamma + \cos 2t) r \cos \theta$とおくと、平均化方程式は
\[ \begin{align}
r' &= \langle h \sin \theta \rangle = r ( \gamma \langle \sin \theta \cos \theta \rangle + \langle \cos 2t \sin \theta \cos \theta \rangle ) = \frac{1}{4} r \sin 2 \phi \\
r \phi' &= \langle h \cos \theta \rangle = r ( \gamma \langle \cos^2 \theta \rangle + \langle \cos 2t \cos^2 \theta \rangle ) = \frac{1}{2} r \left( \gamma + \frac{1}{2} \cos 2 \phi \right)
\end{align}
\]となる。ここで、
\[ \langle \cos 2t \cos^2 \theta \rangle = \frac{1}{4} \cos 2 \phi \]を用いた。

(b) まず$\phi$についての方程式を解く。
\[ \gamma + \frac{1}{2} \cos 2 \phi = \gamma - \frac{1}{2} + \cos^2 \phi \]となるので、$\gamma^2-\frac{1}{4} < 0$のとき、
\[ \int \left[ \gamma - \frac{1}{2} + \cos^2 \phi \right]^{-1} d \phi = \frac{1}{2 \sqrt{\frac{1}{4} - \gamma^2}} \ln \left| \frac{ \sqrt{ \frac{1}{4} - \gamma^2 } \tan \phi + \gamma + \frac{1}{2} }{ \sqrt{ \frac{1}{4} - \gamma^2 } \tan \phi - \gamma - \frac{1}{2} } \right| = \frac{1}{2} + C \]となる。つまり、
\[ \tan \phi = \sqrt{ \frac{ \frac{1}{2} + \gamma }{ \frac{1}{2} - \gamma } } \cdot \frac{ 1 - A e^{-\sqrt{\frac{1}{4}-\gamma^2}T} }{ 1 + A e^{-\sqrt{\frac{1}{4}-\gamma^2}T} } \]となる。ここで、$A$は積分定数。
次に、$r$についての方程式を解くことを考える。（ヒントにある通り）$r$が$0$に近い場合、$\phi' \gg r'$であり、$\phi$は相対的により速く固定点に近づいていくので、
\[ \tan \phi \approx \sqrt{ \frac{ \frac{1}{2} + \gamma }{ \frac{1}{2} - \gamma } } \]と置くことができる。
\[ \sin 2 \phi = \frac{ 2 \tan \phi }{ 1 + \tan^2 \phi } \approx 2 \sqrt{ \frac{1}{4} - \gamma^2 } \]となるので、$r$の方程式は
\[ r(T) \approx r_0 e^{\frac{1}{2} \sqrt{\frac{1}{4} - \gamma^2} T } \]のようになる。
まとめると、$\gamma_c = \frac{1}{2}$として、$|\gamma|<\gamma_c$であるとき、固定点は不安定であり、指数関数的に成長する振動が生じることがわかる。

(c) (b)の結果より、成長率$k$は
\[ k= \frac{1}{2} \sqrt{ \frac{1}{4} - \gamma^2 } \]となる。

解答者：goodbook 解答日時：2021-03-06 08:32:50

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