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ストロガッツ非線形ダイナミクスとカオス(9784621085806)

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ストロガッツ非線形ダイナミクスとカオス

著者：スティーヴン・H．ストロガッツ/田中久陽

出版社：丸善出版 (2015年01月30日頃)

ISBN-10：4621085808

ISBN-13：9784621085806

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P.261の問題番号「7.6.18」への解答

マシュー方程式（Mathieu equation）$\ddot{x} + (a + \varepsilon \cos t ) x = 0, \ \ a \approx 1$

解）$\tau = t$として$\tau$を速い時間とし、$T = \varepsilon^2 t$を遅い時間とすると、
\[ \dot{x} = \frac{\partial x}{\partial t} = \frac{\partial x}{\partial \tau} + \frac{\partial x}{\partial T} \frac{\partial T}{ \partial t} = \partial_{\tau} x + \varepsilon^2 \partial_T x \]となる。また、
\[ x(t,\varepsilon) = x_0(\tau, T ) + \varepsilon x_1(\tau, T) + \varepsilon^2 x_2(\tau, T) + \mathcal{O}(\varepsilon^3) \]とおくと、
\[ \dot{x} = \partial_{\tau} x_0 + \varepsilon \partial_{\tau} x_1 + \varepsilon^2 ( \partial_{\tau} x_2 + \partial_T x_0 ) + \mathcal{O}(\varepsilon^3), \\
\ddot{x} = \partial_{\tau \tau} x_0 + \varepsilon \partial_{\tau \tau} x_1 + \varepsilon^2 ( \partial_{\tau \tau} x_2 + 2 \partial_{T \tau} x_0 ) + \mathcal{O}(\varepsilon^3) \]となる。さらに、
\[ a = 1 + \varepsilon a_1 + \varepsilon^2 a_2 + \mathcal{O}(\varepsilon^3) \]とおき、上記の式をマシュー方程式に代入して$\varepsilon$のべき順に整理すると、
\[ \begin{align}
\mathcal{O}(1) \ &: \ \partial_{\tau \tau} x_0 + x_0 = 0 \\
\mathcal{O}(\varepsilon) \ &: \ \partial_{\tau \tau} x_1 + x_1 + (a_1 + \cos t ) x_0 = 0 \\
\mathcal{O}(\varepsilon^2) \ &: \ \partial_{\tau \tau} x_2 + x_2 + (a_1 + \cos t ) x_1 + 2 \partial_{T \tau} x_0 + a_2 x_0 = 0
\end{align} \]となる。

解答者：goodbook 解答日時：2021-03-11 07:49:52

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問題解答へのコメント

1

（解答の続き１）
次に、これらの方程式の解を求めていく。まず$\mathcal{O}(1)$の方程式の解は
\[ x_0 = r(T) \cos (\tau + \phi(T) ) \]と表すことができる。これを$\mathcal{O}(\varepsilon)$の方程式に代入すると、
\[ \partial_{\tau \tau} x_1 + x_1 = -r \left( a_1 \cos( \tau + \phi ) + \frac{1}{2} \cos \phi + \frac{1}{2} \cos (2 \tau + \phi ) \right) \]となる。したがって、この式の右辺に$\cos(\tau + \phi)$および$\sin(\tau + \phi)$に比例する項が現れないという条件から
\[ a_1 = 0 \]が得られる。また、この方程式の解は
\[ x_1 = -\frac{r}{2} \cos \phi + \frac{r}{6} \cos (2 \tau + \phi ) \]となる。さらに、$\mathcal{O}(\varepsilon^2)$の方程式に$x_0, \ x_1$を代入すると、
\[ \begin{align}
\partial_{\tau \tau} x_2 + x_2 &= \left( 2r' + \frac{r}{4} \sin 2 \phi \right) \sin (\tau + \phi ) \\
& + r \left( 2 \phi' - a_2 + \frac{1}{6} + \frac{1}{4} \cos 2 \phi \right) \cos (\tau + \phi ) \\
& - \frac{r}{12} \cos ( 3\tau + \phi )
\end{align} \]となる。したがって、この式の右辺に$\cos(\tau + \phi)$および$\sin(\tau + \phi)$に比例する項が現れないという条件から
\[
r' + \frac{r}{8} \sin 2 \phi = 0 \\
\phi' = \frac{1}{2} a_2 - \frac{1}{12} - \frac{1}{8} \cos 2 \phi \]が得られる。

投稿者：goodbook 投稿日時：2021-03-11 07:55:05

2

（解答の続き２）
最後に、$r$および$\phi$に関する方程式を解いていく。
i) $(a_2 - \frac{1}{6})^2 < \frac{1}{16}$、すなわち、$-\frac{1}{12} < a_2 < \frac{5}{12}$のとき、$\phi$の方程式の解は
\[ \frac{ \sqrt{ \frac{1}{16} - \left( a_2 - \frac{1}{6} \right)^2 } \sin 2 \phi + \left( a_2 - \frac{1}{6} \right) \cos 2 \phi - \frac{1}{4} }{ a_2 - \frac{1}{6} - \frac{1}{4} \cos 2 \phi } = A \exp \left[ \sqrt{ \frac{1}{16} - \left( a_2 - \frac{1}{6} \right)^2 } T \right] \]となる。$T$が十分大きくなると、
\[ \cos 2 \phi \approx 4 \left( a_2 - \frac{1}{6} \right), \ \ \sin 2 \phi \approx - \sqrt{ 1 - 16 \left( a_2 - \frac{1}{6} \right)^2 } \]となるので、$r$の方程式は
\[ r' \approx \frac{r}{8} \sqrt{ 1 - 16 \left( a_2 - \frac{1}{6} \right)^2 } \\
r(T) \approx A \exp \left[ \frac{1}{8} \sqrt{ 1 - 16 \left( a_2 - \frac{1}{6} \right)^2 } T \right] \]となる。つまり、$t \to \infty$でマシュー方程式の解は発散することがわかる。
ii) $a_2- \frac{1}{6} = -\frac{1}{4}$、すなわち、$a_2 = -\frac{1}{12}$のとき、$\phi$の方程式の解は
\[ \tan \phi = - \frac{1}{4} (T+c) \]となる。したがって、$r$の方程式は
\[ r' = - \frac{r}{8} \frac{2 \tan \phi}{1 + \tan^2 \phi} = r \frac{T+c}{16+(T+c)^2} \\
r(T) = A \sqrt{16 + (T+c)^2} \]となる。つまり、$t \to \infty$でマシュー方程式の解は発散することがわかる。
iii) $a_2- \frac{1}{6} = \frac{1}{4}$、すなわち、$a_2 = \frac{5}{12}$のとき、$\phi$の方程式の解は
\[ \cot \phi = - \frac{1}{4} (T+c) \]となる。したがって、$r$の方程式は
\[ r' = - \frac{r}{8} \frac{2 \cot \phi}{1 + \cot^2 \phi} = r \frac{T+c}{16+(T+c)^2} \\
r(T) = A \sqrt{16 + (T+c)^2} \]となる。つまり、$t \to \infty$でマシュー方程式の解は発散することがわかる。
iv) $(a_2 - \frac{1}{6})^2 > \frac{1}{16}$のとき、$\phi$の方程式の解は
\[ \tan \phi = \sqrt{ \frac{ a_2 -\frac{5}{12} }{ a_2+\frac{1}{12} } } \tan \left[ \sqrt{ \left( a_2 - \frac{1}{6} \right)^2 - \frac{1}{16} }(T+c) \right] \]となる。したがって、$r$の方程式は
\[ r(T) = A \left| 4 \left( a_2 - \frac{1}{6} \right) + \cos \left[ 2 \sqrt{ \left( a_2 - \frac{1}{6} \right)^2 - \frac{1}{16} }(T+c) \right] \right|^{\frac{1}{4}} \]となる。この場合、$t \to \infty$でマシュー方程式の解は振動することがわかる。

投稿者：goodbook 投稿日時：2021-03-11 07:58:59

3

（解答の続き３）
以上の結果から、$1-\frac{1}{12} \varepsilon^2 + \mathcal{O}(\varepsilon^4) \leq a \leq 1+\frac{5}{12} \varepsilon^2 + \mathcal{O}(\varepsilon^4)$のとき、マシュー方程式の解は$t \to \infty$で発散する。

投稿者：goodbook 投稿日時：2021-03-11 07:59:41

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