ストロガッツ非線形ダイナミクスとカオス　の読書会ページ

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ダフィン方程式$\ddot{x}+x+\varepsilon x^3 = 0, \ \ 0< \varepsilon \ll 1, \ \ x(0)=a, \ \ \dot{x}(0)=0$
(a) $x(t, \varepsilon) = x_0(t) + \varepsilon x_1(t) + \mathcal{O}(\varepsilon^2)$とおき、ダフィン方程式に代入すると、
\[ \ddot{x}_0 + \varepsilon \ddot{x}_1 + x_0 + \varepsilon x_1 + \varepsilon (x_0 + \varepsilon x_1)^3 + \mathcal{O}(\varepsilon^2) = 0 \]となるので、$\varepsilon$のべきごとに整理すると、
\[ \begin{align}
\mathcal{O}(1) \ &: \ \ddot{x}_0 + x_0 = 0 \\
\mathcal{O}(\varepsilon) \ &: \ \ddot{x}_1 + x_1 = - x_0^3
\end{align}
\]が得られる。また、初期条件は
\[ \begin{align}
x(0) &= x_0(0) + \varepsilon x_1(0) + \mathcal{O}(\varepsilon^2) = a \\
\dot{x}(0) &= \dot{x}_0(0) + \varepsilon \dot{x}_1(0) + \mathcal{O}(\varepsilon^2) = 0
\end{align}
\]となるので、$\varepsilon$のべきごとに整理すれば、$x_0(0)=a, \ \dot{x}_0(0)=0$、および$x_1(0)=\dot{x}_1(0)=0$が得られる。
したがって、$\mathcal{O}(1)$の方程式から
\[ x_0(t) = a \cos t \]が得られ、$\mathcal{O}(\varepsilon)$の方程式から、
\[ x_1(\tau) = -\frac{3}{8} a^3 t \sin t + \frac{1}{32} a^3 ( \cos 3 t - \cos t ) \]が得られる。つまり、通常の摂動法を用いると、
\[ x(t, \varepsilon) = a \cos t + \varepsilon a^3 \left[ -\frac{3}{8} t \sin t + \frac{1}{32} ( \cos 3 t - \cos t ) \right] + \mathcal{O}(\varepsilon^2) \]が得られる。
演習問題7.6.19の結果より、$\varepsilon \ll 1$のとき、
\[ \begin{align}
x_0(\tau) &= a \cos \tau = a \cos \omega t = a \cos \left( 1 + \frac{3}{8} \varepsilon a^2 + \mathcal{O}(\varepsilon^2) \right) t \\
&= a \cos t - \frac{3}{8} \varepsilon a^3 t \sin t + \mathcal{O}(\varepsilon^2)
\end{align} \]となる。通常の摂動法による永年項はこの近似により生じており、これを$\varepsilon$のオーダーまでで見ると、振幅が$t$とともに増加するように見えるが、これは間違い。

解答者：goodbook 解答日時：2021-03-13 08:10:59

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