ストロガッツ非線形ダイナミクスとカオス　の読書会ページ

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解）$\tau = \omega t$とおくと、方程式は
\[ \omega^2 x'' + \varepsilon \omega (x^2-1) x' + x = 0 \]となる。$x(t, \varepsilon) = x_0(t) + \varepsilon x_1(t) + \varepsilon^2 x_2(t) + \mathcal{O}(\varepsilon^3), \ \ \omega = 1 + \varepsilon \omega_1 + \varepsilon^2 \omega_2 + \mathcal{O}(\varepsilon^3)$とおき、方程式に代入すると、
\[ (1 + \varepsilon \omega_1 + \varepsilon^2 \omega_2)^2 ( x_0'' + \varepsilon x_1'' + \varepsilon^2 x_2'') \\
+ \varepsilon (1 + \varepsilon \omega_1) \{ ( x_0 + \varepsilon x_1 )^2 -1 \}(x_0' + \varepsilon x_1' ) + (x_0 + \varepsilon x_1 + \varepsilon^2 x_2 ) + \mathcal{O}(\varepsilon^3) = 0 \]となるので、$\varepsilon$のべきごとに整理すると、
\[ \begin{align}
\mathcal{O}(1) \ &: \ x_0'' + x_0 = 0 \\
\mathcal{O}(\varepsilon) \ &: \ x_1'' + x_1 + 2 \omega_1 x_0'' + (x_0^2 - 1 ) x_0' = 0 \\
\mathcal{O}(\varepsilon^2) \ &: \ x_2'' + x_2 + ( \omega_1^2 + 2 \omega_2) x_0'' + 2 \omega_1 x_1'' + (x_0^2 - 1 ) (\omega_1 x_0' + x_1' ) + 2 x_0 x_0' x_1 = 0
\end{align}
\]が得られる。$\mathcal{O}(1)$の方程式から
\[ x_0(\tau) = r_0 \cos (\tau + \phi_0) \]が得られる。次に、$\mathcal{O}(\varepsilon)$の方程式は、
\[ x_1'' + x_1 = 2 \omega_1 r_0 \cos (\tau + \phi_0) + \left( \frac{r_0^3}{4} - r_0 \right) \sin (\tau + \phi_0) + \frac{r_0^3}{4} \sin 3(\tau+\phi_0) \]となる。この式から永年項を回避するために、
\[ \omega_1 = 0, r_0 = 2 \]が得られる。また、このとき、
\[ x_1(\tau) = r_1 \cos (\tau + \phi_1) - \frac{1}{4} \sin 3(\tau+ \phi_0) \]となる。さらに、$\mathcal{O}(\varepsilon^2)$の方程式は、
\[ \begin{align}
x_2'' + x_2 &= \left( 4 \omega_2 + r_1 \sin( \phi_0 - \phi_1) + \frac{1}{4} \right) \cos(\tau+ \phi_0) \\
&+ r_1 ( 1+ \cos (\phi_0-\phi_1) ) \sin (\tau + \phi_0) \\
&+ 3 \left( - r_1 \sin (\phi_0 - \phi_1) + \frac{1}{4} \right) \cos 3(\tau+\phi_0) \\
&+ 3r_1 \cos(\phi_0 - \phi_1) \sin 3 (\tau + \phi_0) + \frac{5}{4} \cos 5(\tau+\phi_0)
\end{align} \]となるので、永年項を回避するために、
\[ \omega_2 = - \frac{1}{16} \]が得られる。したがって、リミットサイクルの振動数は、
\[ \omega = 1 - \frac{1}{16} \varepsilon^2 + \mathcal{O}(\varepsilon^3) \]となる。

解答者：goodbook 解答日時：2021-03-13 12:05:31

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