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NO. 00178275 DATE 2024 03 29

ストロガッツ非線形ダイナミクスとカオス の読書会ページ

ストロガッツ非線形ダイナミクスとカオス(9784621085806)

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ストロガッツ非線形ダイナミクスとカオス

著者:スティーヴン・H.ストロガッツ/田中久陽

出版社:丸善出版 (2015年01月30日頃)

ISBN-10:4621085808

ISBN-13:9784621085806

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P.312の問題番号「8.1.5」への解答

系$\dot{x}=f(x,y), \ \ \dot{y}=g(x,y)$を考える。$(x^*, y^*)$をこの系の固定点とすると、ヤコビ行列は
\[ A = \begin{pmatrix} f_x & f_y \\ g_x & g_y \end{pmatrix} \]となる。ここで、
\[ f_x = \left. \frac{ \partial f }{ \partial x } \right|_{(x^*, y^*)}, \ \ f_y = \left. \frac{ \partial f }{ \partial y } \right|_{(x^*, y^*)}, \ \ g_x = \left. \frac{ \partial g }{ \partial x } \right|_{(x^*, y^*)}, \ \ g_y = \left. \frac{ \partial g }{ \partial y } \right|_{(x^*, y^*)} \]とおいた。行列$A$がゼロ固有値をもつとすると、
\[ \Delta = f_x g_y - f_y g_x =0 \]となり、ベクトル$(f_x,f_y)$と$(g_x, g_y)$はそれぞれ曲線$f(x,y)=0$と$g(x,y)=0$に対する点$(x^*, y^*)$での法線ベクトルであることを考慮すると、$f_x g_y - f_y g_x =0$は$(f_x,f_y)$と$(g_x, g_y)$の外積の大きさが$0$、すなわち、$(f_x,f_y)$と$(g_x, g_y)$は平行であることがわかる。これはゼロ固有値分岐点において、2つのヌルクライン$f(x,y)=0$と$g(x,y)=0$が互いに接していることを示す。

解答者:goodbook 解答日時:2021-03-23 05:27:47

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