ストロガッツ非線形ダイナミクスとカオス　の読書会ページ

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系$\dot{x}=y-ax, \ \ \dot{y} = -by + x/(1+x)$
解）この系では2つの固定点が存在する。これらの固定点を$A(0,0), \ \ B((1-ab)/ab, (1-ab)/b)$とおく。各固定点のヤコビ行列は
\[ \begin{align}
(0, 0) \ :& \ J = \begin{pmatrix} -a & 1 \\ 1 & -b \end{pmatrix}, \\
& \tau=-a-b, \ \ \Delta = ab-1, \ \ \tau^2 - 4 \Delta = (a-b)^2+4 >0 \\
\left( \frac{1-ab}{ab}, \frac{1-ab}{b} \right) \ :& \ J = \begin{pmatrix} -a & 1 \\ a^2 b^2 & -b \end{pmatrix}, \\
& \tau=-a-b, \ \ \Delta = ab - a^2 b^2, \ \ \tau^2 - 4 \Delta = (a-b)^2+4a^2b^2 \geq 0
\end{align} \]となる。したがって、$ab<0$のとき、固定点$A$、固定点$B$共にサドルとなる。$ab$が増加するにつれて固定点$B$は$x$軸の負の方向に離れていき、$ab=0$で無限遠となる。$0 <ab<1$となると、固定点$B$は固定点$A$に近づいていく。この間、固定点$A$はサドル、固定点$B$は$a>0,b>0$のとき安定ノード、$a<0,b<0$のとき不安定ノードとなる。$ab=1$で固定点$A, B$は互いに衝突し、$ab>1$になると、固定点$A$は$a>0,b>0$のとき安定ノード、$a<0,b<0$のとき不安定ノードとなり、固定点$B$はサドルとなる。つまり、$ab=1$でトランスクリティカル分岐を起こす。

解答者：goodbook 解答日時：2021-03-29 06:50:32

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