ストロガッツ非線形ダイナミクスとカオス　の読書会ページ

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方程式
\[ \varepsilon \frac{d^2 \phi}{d \tau^2} = - \frac{d \phi}{d \tau} - \sin \phi + \gamma \sin \phi \cos \phi
\] (a) $\tau$での微分をプライムで表し、$\phi' = \theta$とおくと、
\[ \phi' = \theta, \ \ \varepsilon \theta' = - \theta - \sin \phi + \gamma \sin \phi \cos \phi \]が得られる。この系では、$n$を整数とすると、
$0<\gamma \leq 1$のとき、固定点$(2n\pi, 0), \ \ ((2n+1)\pi, 0)$をもち、
$\gamma > 1$のとき、固定点$(2n\pi, 0), \ \ ((2n+1)\pi, 0), \ \ (2n\pi \pm \alpha, 0)$をもつ。
ここで、$\alpha$は$\cos \alpha = \gamma^{-1}, \ \ 0 \leq \alpha < \pi/2$を満たす。
一方、各固定点でのヤコビ行列を求めて分類すると、それぞれ次のようになる。
\[ (2n\pi, 0) \ : \ J = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ -\varepsilon^{-1}(1-\gamma) & -\varepsilon^{-1} \end{pmatrix}, \\
\tau=-\varepsilon^{-1}, \ \ \Delta = \varepsilon^{-1}(1-\gamma), \ \ \tau^2 - 4 \Delta = \varepsilon^{-2}(1-4 \varepsilon + 4 \varepsilon \gamma) \]となり、$0<\gamma \leq 1$では安定な固定点、$\gamma > 1$ではサドルとなる。
\[ ((2n+1)\pi, 0) \ : \ J = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ \varepsilon^{-1}(1+\gamma) & -\varepsilon^{-1} \end{pmatrix}, \\
\tau=-\varepsilon^{-1}, \ \ \Delta = -\varepsilon^{-1}(1+\gamma) <0 , \ \ \tau^2 - 4 \Delta = \varepsilon^{-2}(1+4 \varepsilon + 4 \varepsilon \gamma) \]となり、常にサドルとなる。
\[ (2n\pi \pm \alpha, 0) \ : \ J = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ -\varepsilon^{-1}(\gamma-\gamma^{-1}) & -\varepsilon^{-1} \end{pmatrix}, \\
\tau=-\varepsilon^{-1}, \ \ \Delta = \varepsilon^{-1} (\gamma - \gamma^{-1}), \ \ \tau^2 - 4 \Delta = \varepsilon^{-2}(1-4 \varepsilon \gamma + 4 \varepsilon \gamma^{-1}) \]となり、$\gamma > 1$では安定な固定点となる。したがって、この系は固定点$(2n\pi, 0)$において、$\gamma=1$で超臨界ピッチフォーク分岐を起こすことがわかる。

解答者：goodbook 解答日時：2021-04-01 04:53:44

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