ストロガッツ非線形ダイナミクスとカオス : 数学的基礎から物理・生物・化学・工学への応用まで　の読書会ページ

投稿一覧に戻る

\[ \dot{S} = r_S S \left( 1 - \frac{S}{K_S} \frac{K_E}{E} \right), \ \ \dot{E} = r_E E \left( 1 - \frac{E}{K_E} \right) - P \frac{B}{S} \](a) $-PB/S$は幼虫の個体数がエネルギー貯蔵$E$に与える影響を表し、幼虫が増えると、エネルギー貯蔵が減ることを示している。この幼虫の個体数の影響を無視できる場合、木の平均サイズ$S$とエネルギー貯蔵$E$はロジスティック的に増加することがわかる。ただし、木の平均サイズ$S$の環境収容力は$K_S E/K_E$でエネルギー貯蔵$E$に比例している。

(b) $x=S/K_S, \ \ y = E/K_E, \ \ t'=r_E t, \ \ r = r_S/r_E, \ \ b=PB/K_S K_E r_E$とおくと、方程式は
\[ x' = r x \left( 1 - \frac{x}{y} \right), \ \ y' = y(1-y) - \frac{b}{x} \]となる。ただし、プライムは$t'$での微分を表す。

(c) ヌルクラインは添付図の青いラインとなる。
この系は$b > 4/27$のとき固定点を持たず、$b<4/27$のとき２つの固定点$(a_1, a_1), \ \ (a_2, a_2)$をもつ。ここで、
\[ a_1 = \frac{1}{3} + \frac{2}{3} \cos \frac{\alpha}{3}, \ \ a_2 = \frac{1}{3} + \frac{2}{3} \cos \left( \frac{\alpha}{3} - \frac{2}{3} \pi \right), \\
\cos \alpha = 1 - \frac{27}{2} b, \ \ \sin \alpha = \sqrt{ 27b - \frac{27^2}{4} b^2 } \]となる。各固定点でのヤコビ行列を求めると、次のようになる。
\[ (a_1, a_1) \ : \ J = \begin{pmatrix} -r & r \\ 1-a_1 & 1-2a_1 \end{pmatrix}, \ \
\tau=-r + 1 - 2a_1, \ \ \Delta = r( 3a_1 -2 ) \]となり、$2/3 < a_1 <1$を考慮すると$-r-1 < \tau < -r -1/3, \ \ 0 < \Delta < r$となるので、$(a_1,a_1)$は安定な固定点となる。一方、
\[ (a_2, a_2) \ : \ J = \begin{pmatrix} -r & r \\ 1-a_2 & 1-2a_2 \end{pmatrix}, \ \
\tau=-r + 1 - 2a_2, \ \ \Delta = r( 3a_2 -2 ) \]となり、$0 < a_2 <2/3$を考慮すると$-2r < \Delta < 0$となるので、$(a_2,a_2)$はサドルとなる。
したがって、$b=4/27$において、サドルノード分岐を起こすことがわかる。

(d) 相図は添付図のようになる。

解答者：goodbook 解答日時：2021-04-07 08:29:40

コメントを書き込む

問題解答へのコメント

まだ、コメントはありません。