ストロガッツ非線形ダイナミクスとカオス　の読書会ページ

投稿一覧に戻る

系$\dot{u}=a(1-u) - uv^2, \ \ \dot{v} = uv^2 - (a+k) v, \ \ a, \ k >0$
解）この系は$0<a<\frac{1}{4}, \ \ 0<k<-a+\frac{1}{2} \sqrt{a}$の領域で２つの固定点
\[ A_+ \left( \frac{a+\sqrt{a^2 - 4a(a+k)^2}}{2a}, \frac{a+\sqrt{a^2 - 4a(a+k)^2}}{2(a+k)} \right), \\
A_- \left( \frac{a-\sqrt{a^2 - 4a(a+k)^2}}{2a}, \frac{a-\sqrt{a^2 - 4a(a+k)^2}}{2(a+k)} \right) \]をもち、$0<a<\frac{1}{4}, \ \ k=-a+\frac{1}{2} \sqrt{a}$上で１つの固定点$(\frac{1}{2}, \sqrt{a})$をもち、それ以外の領域では固定点を持たない。各固定点を分類すると、
\[ A_+ \ : \ J = \begin{pmatrix} -\frac{2a^2}{a+\sqrt{a^2-4a(a+k)^2}} & -2(a+k) \\ a\frac{a-\sqrt{a^2-4a(a+k)^2}}{a+\sqrt{a^2-4a(a+k)^2}} & a+k \end{pmatrix}, \\ \tau=\frac{a(k-a)+(a+k)\sqrt{a^2-4a(a+k)^2}}{a+\sqrt{a^2-4a(a+k)^2}}, \\ \Delta = -\frac{2a(a+k)\sqrt{a^2-4a(a+k)^2}}{a+\sqrt{a^2-4a(a+k)^2}} <0 \]となるので、サドルとなる。一方、
\[ A_- \ : \ J = \begin{pmatrix} -\frac{2a^2}{a-\sqrt{a^2-4a(a+k)^2}} & -2(a+k) \\ a\frac{a+\sqrt{a^2-4a(a+k)^2}}{a-\sqrt{a^2-4a(a+k)^2}} & a+k \end{pmatrix}, \\ \tau=\frac{a(k-a)-(a+k)\sqrt{a^2-4a(a+k)^2}}{a-\sqrt{a^2-4a(a+k)^2}}, \\ \Delta = \frac{2a(a+k)\sqrt{a^2-4a(a+k)^2}}{a-\sqrt{a^2-4a(a+k)^2}} >0 \]となるので、\[ a> \frac{\sqrt{k}-2k-\sqrt{k-4k\sqrt{k}}}{4} \]のとき、安定な固定点、
\[ a< \frac{\sqrt{k}-2k-\sqrt{k-4k\sqrt{k}}}{4} \]のとき、不安定な固定点となる。
したがって、この系は$k=-a+\frac{1}{2} \sqrt{a}$でサドルノード分岐が起こることがわかる。
また、この系の安定性ダイアグラムは添付図のようになる。

解答者：goodbook 解答日時：2021-04-09 05:08:33

コメントを書き込む

問題解答へのコメント

まだ、コメントはありません。