ストロガッツ非線形ダイナミクスとカオス　の読書会ページ

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系$\dot{x}=x[x(1-x)-y], \ \ \dot{y}=y(x-a)$
(a) ヌルクラインは添付図の青いライン。
(b) 固定点は$(0,0), \ \ (1,0), \ \ (a, a-a^2)$の3点。以下、各固定点ごとに分類。
\[ (0,0) \ : \ J = \begin{pmatrix} 0 & 0 \\ 0 & -a \end{pmatrix}, \ \ \tau=-a, \ \ \Delta = 0, \ \ \tau^2 - 4 \Delta = a^2 \geq 0 \]となるので、孤立していない固定点と予想される。
\[ (1,0) \ : \ J = \begin{pmatrix} -1 & -1 \\ 0 & 1-a \end{pmatrix}, \ \ \tau=-a, \ \ \Delta = a-1, \ \ \tau^2 - 4 \Delta = (a-2)^2 \geq 0 \]となるので、$0 \leq a<1$のときサドル、$a>1$のとき安定ノードとなる。
\[ (a,a-a^2) \ : \ J = \begin{pmatrix} a-2a^2 & -a \\ a-a^2 & 0 \end{pmatrix}, \ \ \tau=a-2a^2, \ \ \Delta = a^2(1-a), \ \ \tau^2 - 4 \Delta = a^2(4a^2-3) \]となるので、$0 \leq a < \frac{1}{2}$のとき不安定スパイラル、$\frac{1}{2}<a<1$のとき安定な固定点となり、$a>1$のときサドルとなる。また、固有値は
\[ \lambda = \frac{a(1-2a) \pm a \sqrt{4a^2-3}}{2} \]となる。
(c) $a>1$における相図は添付図のようになる。ほぼすべての軌道は安定固定点$(1,0)$に向かう。つまり、捕食者は絶滅する。

解答者：goodbook 解答日時：2021-04-21 05:20:16

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問題解答へのコメント

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(d) (b)の結果から$a_c=\frac{1}{2}$のとき、固定点$(a,a-a^2)$でホップ分岐が起こることがわかる。 また、$a>\frac{1}{2}$のとき$(a,a-a^2)$は安定スパイラルで、$a<\frac{1}{2}$のとき$(a,a-a^2)$は不安定スパイラルとなり、周りに安定なリミットサイクルが現れるので、超臨界ホップ分岐が起こしていることがわかる。 (e) 変数変換$x=a+r \cos \theta, \ \ y=a-a^2+r \sin \theta$とおくと、 \[ \begin{align} \dot{\theta} &= \frac{1}{2}(2a-a^2) -\frac{a^2}{2} \cos 2 \theta - \frac{a}{2}(1-2a) \sin 2 \theta \\ &+ \frac{r}{4} ( 2a \sin 2 \theta + (r+2a)(\sin \theta + \sin 3 \theta) + r(\cos \theta - \cos 3 \theta)) \end{align} \]となる。ここで、分岐点近くの$a$ではリミットサイクルの振幅の大きさは小さくなると考えられるので、$\mathcal{O}(r)$の項を無視し、また、振動項も1周あたりの時間平均が実質的に$0$となるので、これらも無視すると、リミットサイクルの振動数は$\frac{1}{2}(2a-a^2)$と見積もることができる。 (f) 添付図参照。 投稿者：goodbook 投稿日時：2021-04-21 05:23:34

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(e)の訂正 $\dot{\theta}$の式から周期$T$を求めると、 \[ T= \frac{2\pi}{\sqrt{\frac{a^2}{4}(3-4a^2)}} + \mathcal{O}(r) \]となるので、振動数は$\frac{a \sqrt{3-4a^2}}{2}$となる。 投稿者：goodbook 投稿日時：2021-04-29 10:52:01