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NO. 00178371 DATE 2024 03 29

ストロガッツ非線形ダイナミクスとカオス の読書会ページ

ストロガッツ非線形ダイナミクスとカオス(9784621085806)

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ストロガッツ非線形ダイナミクスとカオス

著者:スティーヴン・H.ストロガッツ/田中久陽

出版社:丸善出版 (2015年01月30日頃)

ISBN-10:4621085808

ISBN-13:9784621085806

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P.316の問題番号「8.2.11」への解答

減衰を受けるダフィン振動子$\ddot{x}+\mu \dot{x} + x-x^3=0$
(a) $\dot{x}=y$とおくと、方程式は
\[ \dot{x}=y, \ \ \dot{y}=-\mu y -x+x^3 \]と書くことができる。この系の固定点は$(0,0), \ \ (\pm 1, 0)$。以下、各固定点について分類。
\[ (\pm 1, 0) \ : \ J = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 1 & -\mu \end{pmatrix}, \ \ \tau=-\mu, \ \ \Delta = -1<0 \]となるので、サドルとなる。
\[ (0, 0) \ : \ J = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ -1 & -\mu \end{pmatrix}, \ \ \tau=-\mu, \ \ \Delta = 1>0 \]となるので、$\mu>0$のとき、安定スパイラルとなり、$\mu$が$0$未満まで減少すると、不安定スパイラルに変わることがわかる。
(b) この系の相図を添付図に示す。相図より、$\mu=0$において、原点を囲む閉軌道の連続的な帯をもっているので、$\mu=0$における分岐がホップ分岐の退化版であることがわかる。

解答者:goodbook 解答日時:2021-04-25 17:30:18

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