ストロガッツ非線形ダイナミクスとカオス　の読書会ページ

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系$\ddot{\theta}+(1-\mu \cos \theta) \dot{\theta} + \sin \theta=0, \ \ \mu \geq 0$
解）$x=\theta, \ \ y=\dot{\theta}$とおくと、方程式は
$\dot{x}=y, \ \ \dot{y}=-(1-\mu \cos x)y-\sin x$
と書ける。この系の固定点は$(n \pi,0)$となる($n$は整数）。
\[ (2n\pi,0) \ : \ J = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ -1 & \mu-1 \end{pmatrix}, \ \ \tau=\mu-1, \ \ \Delta =1>0, \ \ \tau^2 - 4 \Delta = (\mu-1)^2-4 \]となるので、$\mu<1$のとき安定スパイラル、$1<\mu<3$のとき不安定スパイラル、$\mu>3$のとき不安定ノードとなる。
\[ ((2n+1)\pi,0) \ : \ J = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 1 & -\mu-1 \end{pmatrix}, \ \ \tau=-(\mu+1), \ \ \Delta =-1<0 \]となるので、サドルとなる。

この系の相図は添付図のようになる。$\mu=0$から始めて、$\mu$を大きくしていくと、$\mu=1$で超臨界ホップ分岐を起こし、安定なリミットサイクルが創造されることがわかる。さらに、$\mu$を大きくしていくと、リミットサイクルの一部がどんどんサドル点に近づいていき、$\mu=3.7245$付近でサドル点に触れて、ヘテロクリニック軌道となる。つまり、$\mu=3.7245$付近でサドルループ分岐を起こしていることがわかる。$\mu$がこの分岐を越えると、リミットサイクルは破壊される。

解答者：goodbook 解答日時：2021-05-05 09:50:27

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