ストロガッツ非線形ダイナミクスとカオス　の読書会ページ

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駆動されたダフィン振動子$\ddot{x}+x+\varepsilon (bx^3+k \dot{x}-ax-F \cos t)=0$
解）$h(x,\dot{x})=bx^3+k \dot{x}-ax-F \cos t$とおき、$x=r \cos \theta, \ \ \dot{x}=-r \sin \theta$を代入すると、
\[ h(\theta) = br^3 \cos^3 \theta -kr \sin \theta -ar \cos \theta -F \cos (\theta - \phi) \]と書ける。したがって、平均化方程式は
\[ \begin{align}
r' &= \langle h \sin \theta \rangle \\
&= br^3 \langle \cos^3 \theta \sin \theta \rangle -kr \langle \sin^2 \theta \rangle -ar \langle \sin \theta \cos \theta \rangle -F \langle \sin \theta \cos ( \theta - \phi ) \rangle \\
&= -\frac{1}{2}kr-\frac{1}{2}F \sin \phi, \\
r \phi' &= \langle h \cos \theta \rangle \\
&= br^3 \langle \cos^4 \theta \rangle -kr \langle \sin \theta \cos \theta \rangle -ar \langle \cos^2 \theta \rangle -F \langle \cos \theta \cos ( \theta - \phi ) \rangle \\
&= \frac{3}{8}br^3-\frac{1}{2}ar-\frac{1}{2}F \cos \phi
\end{align} \]となるので、整理すると、
\[ r'=-\frac{1}{2}(kr+F \sin \phi), \ \ \phi'=-\frac{1}{8} \left( 4a-3br^2+\frac{4F}{r} \cos \phi \right) \]が得られる。

解答者：goodbook 解答日時：2021-05-06 04:44:23

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