ストロガッツ非線形ダイナミクスとカオス の読書会ページ
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ストロガッツ非線形ダイナミクスとカオス 著者:スティーヴン・H.ストロガッツ/田中久陽 出版社:丸善出版 (2015年01月30日頃) ISBN-10:4621085808 ISBN-13:9784621085806
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平均化した系の固定点を$(r^*,\phi^*)$とおくと、
\[ \sin \phi^* = -\frac{k r^*}{F}, \ \ \cos \phi^* = \frac{r^*}{4F} (3b(r^*)^2-4a)\]を満たす。また、$r^*>0$であるので、$\phi^* \neq 2\pi n$であることがわかる。したがって、固定点$(r^*,\phi^*)$での、もとの駆動された振動子の軌道は
\[ x=r^* \cos (t+\phi^*), \ \ \dot{x}= - r^* \sin (t+\phi^*) \]となり、位相を$\phi^*$に位相ロックした周期解に対応する。
また、平均化した系でサドルノード分岐が起こるとすると、分岐点で半安定な固定点$(r^*,\phi^*)$が現れ、その後、固定点は安定な固定点$(r_1^*,\phi_1^*)$と不安定な固定点$(r_2^*,\phi_2^*)$に分裂する。これをもとの駆動された振動子の相平面上で見ると、分岐点で
\[ x=r^* \cos (t+\phi^*), \ \ \dot{x}=-r^* \sin (t+\phi^*) \]となる周期解が現れ、その後、周期解は
\[ x=r_1^* \cos (t+\phi_1^*), \ \ \dot{x}=-r_1^* \sin (t+\phi_1^*) \]と
\[ x=r_2^* \cos (t+\phi_2^*), \ \ \dot{x}=-r_2^* \sin (t+\phi_2^*) \]に分裂する。つまり、これは振動子の周期軌道のサドルノード分岐に対応することを示す。
解答者:goodbook 解答日時:2021-05-16 07:31:36
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