自宅で参加できる読書会
NO. 00178302 DATE 2024 03 29

ストロガッツ非線形ダイナミクスとカオス の読書会ページ

ストロガッツ非線形ダイナミクスとカオス(9784621085806)

楽天へのリンク

ストロガッツ非線形ダイナミクスとカオス

著者:スティーヴン・H.ストロガッツ/田中久陽

出版社:丸善出版 (2015年01月30日頃)

ISBN-10:4621085808

ISBN-13:9784621085806

意見、感想、コメントなど

投稿一覧に戻る

P.319の問題番号「8.4.6」への解答

平均化した系の固定点を$(r^*,\phi^*)$とおくと、
\[ \sin \phi^* = -\frac{k r^*}{F}, \ \ \cos \phi^* = \frac{r^*}{4F} (3b(r^*)^2-4a)\]を満たす。また、$r^*>0$であるので、$\phi^* \neq 2\pi n$であることがわかる。したがって、固定点$(r^*,\phi^*)$での、もとの駆動された振動子の軌道は
\[ x=r^* \cos (t+\phi^*), \ \ \dot{x}= - r^* \sin (t+\phi^*) \]となり、位相を$\phi^*$に位相ロックした周期解に対応する。
また、平均化した系でサドルノード分岐が起こるとすると、分岐点で半安定な固定点$(r^*,\phi^*)$が現れ、その後、固定点は安定な固定点$(r_1^*,\phi_1^*)$と不安定な固定点$(r_2^*,\phi_2^*)$に分裂する。これをもとの駆動された振動子の相平面上で見ると、分岐点で
\[ x=r^* \cos (t+\phi^*), \ \ \dot{x}=-r^* \sin (t+\phi^*) \]となる周期解が現れ、その後、周期解は
\[ x=r_1^* \cos (t+\phi_1^*), \ \ \dot{x}=-r_1^* \sin (t+\phi_1^*) \]と
\[ x=r_2^* \cos (t+\phi_2^*), \ \ \dot{x}=-r_2^* \sin (t+\phi_2^*) \]に分裂する。つまり、これは振動子の周期軌道のサドルノード分岐に対応することを示す。

解答者:goodbook 解答日時:2021-05-16 07:31:36

コメントを書き込む

問題解答へのコメント

まだ、コメントはありません。