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ストロガッツ非線形ダイナミクスとカオス の読書会ページ

ストロガッツ非線形ダイナミクスとカオス(9784621085806)

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ストロガッツ非線形ダイナミクスとカオス

著者:スティーヴン・H.ストロガッツ/田中久陽

出版社:丸善出版 (2015年01月30日頃)

ISBN-10:4621085808

ISBN-13:9784621085806

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P.320の問題番号「8.6.2」への解答

結合振動子系$\dot{\theta}_1 = \omega_1+K_1 \sin (\theta_2-\theta_1), \ \ \dot{\theta}_2 = \omega_2+K_2 \sin (\theta_1-\theta_2)$
(a) この系のヌルクラインは
\[ \sin (\theta_1-\theta_2)=\frac{\omega_1}{K_1}, \ \ \sin (\theta_1-\theta_2)=-\frac{\omega_2}{K_2} \]となるので、$\omega_1,\omega_2>0$および$K_1,K_2>0$ならば系は固定点をもたない。
(b) $\phi=\theta_1-\theta_2, \ \ \varphi=\theta_1+\theta_2$とおくと、
\[ \dot{\phi}=\omega_1-\omega_2-(K_1+K_2)\sin \phi, \ \ \dot{\varphi}=\omega_1+\omega_2-(K_1-K_2)\sin \phi \]の方程式が成り立つ。このとき、
\[ \frac{d \varphi}{d \phi}=\frac{\dot{\varphi}}{\dot{\phi}}=\frac{2\omega^*}{\omega_1-\omega_2-(K_1+K_2)\sin \phi}+\frac{K_1-K_2}{K_1+K_2} \]となる。ここで、
\[ \omega^*=\frac{K_1\omega_2+K_2\omega_1}{K_1+K_2} \]とおいた。この式より
\[ (K_1+K_2)d \varphi=\left[ (K_1-K_2)+\frac{2\omega^*}{s-\sin \phi} \right] d \phi \]と変形して両辺を積分した後、少し整理すると保存量を得ることができる。ここで、\[ s=\frac{\omega_1-\omega_2}{K_1+K_2} \]とおいた。
i) $|\omega_1-\omega_2|<K_1+K_2$のとき、
\[ E=\frac{s \tan(\phi/2)-1+\sqrt{1-s^2} \tanh [(K_1\theta_2+K_2\theta_1) \sqrt{1-s^2}/2\omega^*]}{\sqrt{1-s^2}+(s \tan(\phi/2)-1) \tanh [(K_1\theta_2+K_2\theta_1) \sqrt{1-s^2}/2\omega^*] } \] ii) $|\omega_1-\omega_2|>K_1+K_2$のとき、
\[ E=\frac{s \tan(\phi/2)-1-\sqrt{s^2-1} \tan [(K_1\theta_2+K_2\theta_1) \sqrt{s^2-1}/2\omega^*]}{\sqrt{s^2-1}+(s \tan(\phi/2)-1) \tan [(K_1\theta_2+K_2\theta_1) \sqrt{s^2-1}/2\omega^*] } \]となる。

解答者:goodbook 解答日時:2021-06-03 06:04:42

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問題解答へのコメント

1

(c) $K_1=K_2$のとき、$a=K_1/\omega_1=K_2/\omega_1, \ \ \omega=\omega_2/\omega_1, \ \ \tau=\omega_1 t$とおくと、
\[ \frac{d \theta_1}{d \tau}=1+a \sin (\theta_2-\theta_1), \ \ \frac{d \theta_2}{d \tau}=\omega+a \sin (\theta_1-\theta_2) \]が得られる。
(d) (c)の結果より
\[ \frac{d (\theta_1+\theta_2)}{d \tau}=1+\omega, \ \ \frac{d (\theta_1-\theta_2)}{d \tau}=1-\omega-2a \sin (\theta_1-\theta_2) \]となる。しがたって、
\[ \left\langle \frac{d (\theta_1+\theta_2)}{d \tau} \right\rangle=1+\omega \]となる。
i) $|1+\omega|<2a$のとき、系の軌道は安定な位相ロック解に近づく。したがって、
\[ \left\langle \frac{d (\theta_1-\theta_2)}{d \tau} \right\rangle=0 \]となる。これより
\[ \lim_{\tau \to \infty} \frac{\theta_1(\tau)}{\theta_2(\tau)}=\frac{\langle (\theta_1+\theta_2)' \rangle+\langle (\theta_1-\theta_2)' \rangle}{\langle (\theta_1+\theta_2)' \rangle-\langle (\theta_1-\theta_2)' \rangle }=\frac{1+\omega}{1+\omega}=1 \]となる。
ii) $|1+\omega|>2a$のとき、$(\theta_1-\theta_2)'$は常に正、または常に負の値をとる。このことから、長時間平均は$\theta_1-\theta_2$が$2\pi$だけ変化するときの時間平均と同じものであると見なせる。つまり、
\[ \begin{align}
\left\langle \frac{d (\theta_1-\theta_2)}{d \tau} \right\rangle &= \left[ \int_0^{2\pi} d(\theta_1-\theta_2) \right] \left[ \int_0^{2\pi} \frac{d \tau}{d(\theta_1-\theta_2)}d(\theta_1-\theta_2) \right]^{-1} \\
&= 2\pi \left[ \int_0^{2\pi} \frac{d(\theta_1-\theta_2)}{1-\omega-2a \sin (\theta_1-\theta_2)} \right]^{-1} \\
&= \sqrt{(1-\omega)^2-4a^2} \equiv \omega_{\phi}
\end{align} \]となる。以上より、
\[ \lim_{\tau \to \infty} \frac{\theta_1(\tau)}{\theta_2(\tau)}=\frac{1+\omega+\omega_{\phi}}{1+\omega-\omega_{\phi}} \]となる。

投稿者:goodbook 投稿日時:2021-06-03 06:24:19