ストロガッツ非線形ダイナミクスとカオス の読書会ページ
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ストロガッツ非線形ダイナミクスとカオス 著者:スティーヴン・H.ストロガッツ/田中久陽 出版社:丸善出版 (2015年01月30日頃) ISBN-10:4621085808 ISBN-13:9784621085806
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結合振動子系$\dot{\theta}_1 = \omega_1+K_1 \sin (\theta_2-\theta_1), \ \ \dot{\theta}_2 = \omega_2+K_2 \sin (\theta_1-\theta_2)$
(a) この系のヌルクラインは
\[ \sin (\theta_1-\theta_2)=\frac{\omega_1}{K_1}, \ \ \sin (\theta_1-\theta_2)=-\frac{\omega_2}{K_2} \]となるので、$\omega_1,\omega_2>0$および$K_1,K_2>0$ならば系は固定点をもたない。
(b) $\phi=\theta_1-\theta_2, \ \ \varphi=\theta_1+\theta_2$とおくと、
\[ \dot{\phi}=\omega_1-\omega_2-(K_1+K_2)\sin \phi, \ \ \dot{\varphi}=\omega_1+\omega_2-(K_1-K_2)\sin \phi \]の方程式が成り立つ。このとき、
\[ \frac{d \varphi}{d \phi}=\frac{\dot{\varphi}}{\dot{\phi}}=\frac{2\omega^*}{\omega_1-\omega_2-(K_1+K_2)\sin \phi}+\frac{K_1-K_2}{K_1+K_2} \]となる。ここで、
\[ \omega^*=\frac{K_1\omega_2+K_2\omega_1}{K_1+K_2} \]とおいた。この式より
\[ (K_1+K_2)d \varphi=\left[ (K_1-K_2)+\frac{2\omega^*}{s-\sin \phi} \right] d \phi \]と変形して両辺を積分した後、少し整理すると保存量を得ることができる。ここで、\[ s=\frac{\omega_1-\omega_2}{K_1+K_2} \]とおいた。
i) $|\omega_1-\omega_2|<K_1+K_2$のとき、
\[ E=\frac{s \tan(\phi/2)-1+\sqrt{1-s^2} \tanh [(K_1\theta_2+K_2\theta_1) \sqrt{1-s^2}/2\omega^*]}{\sqrt{1-s^2}+(s \tan(\phi/2)-1) \tanh [(K_1\theta_2+K_2\theta_1) \sqrt{1-s^2}/2\omega^*] } \] ii) $|\omega_1-\omega_2|>K_1+K_2$のとき、
\[ E=\frac{s \tan(\phi/2)-1-\sqrt{s^2-1} \tan [(K_1\theta_2+K_2\theta_1) \sqrt{s^2-1}/2\omega^*]}{\sqrt{s^2-1}+(s \tan(\phi/2)-1) \tan [(K_1\theta_2+K_2\theta_1) \sqrt{s^2-1}/2\omega^*] } \]となる。
解答者:goodbook 解答日時:2021-06-03 06:04:42
問題解答へのコメント
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(c) $K_1=K_2$のとき、$a=K_1/\omega_1=K_2/\omega_1, \ \ \omega=\omega_2/\omega_1, \ \ \tau=\omega_1 t$とおくと、 投稿者:goodbook 投稿日時:2021-06-03 06:24:19 |