ストロガッツ非線形ダイナミクスとカオス　の読書会ページ

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\[ \frac{1}{r(1-r^2)}=\frac{1}{r}-\frac{1}{2(r-1)}-\frac{1}{2(r+1)} \]と部分分数を分解すると、
\[ \begin{align} \int_{r_0}^{r_1} \frac{dr}{r(1-r^2)} &= \left[ \ln |r|-\frac{1}{2} \ln |r-1|-\frac{1}{2} \ln |r+1| \right]_{r_0}^{r_1} \\
&= \left[ \ln \frac{r}{\sqrt{r^2-1}} \right]_{r_0}^{r_1} \\
&= \ln \frac{r_1}{\sqrt{r_1^2-1}} - \ln \frac{r_0}{\sqrt{r_0^2-1}} = 2 \pi
\end{align} \]となる。この式を整理すると、
\[ r_1=\left[ 1+e^{-4\pi}(r_0^{-2}-1) \right]^{-\frac{1}{2}} \]が得られる。
また、ポアンカレ写像は
\[ P(r)=\left[ 1+e^{-4\pi}(r^{-2}-1) \right]^{-\frac{1}{2}} \]となるので、
\[ P'(r)=e^{-4\pi}r^{-3}\left[ 1+e^{-4\pi}(r^{-2}-1) \right]^{-\frac{3}{2}} \]から、
\[ P'(r^*)=P'(1)=e^{-4\pi} \]が得られる。

解答者：goodbook 解答日時：2021-07-04 08:10:21

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