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NO. 00178260 DATE 2024 03 28

ストロガッツ非線形ダイナミクスとカオス の読書会ページ

ストロガッツ非線形ダイナミクスとカオス(9784621085806)

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ストロガッツ非線形ダイナミクスとカオス

著者:スティーヴン・H.ストロガッツ/田中久陽

出版社:丸善出版 (2015年01月30日頃)

ISBN-10:4621085808

ISBN-13:9784621085806

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P.322の問題番号「8.7.2」への解答

系$\dot{\theta}=1, \ \ \dot{y}=ay$で与えられる円筒上のベクトル場
$S$を円筒上の$\theta=0$の軸とし、$y_0$を$S$上の初期点とする。$\dot{\theta}=1$なので、最初に$S$に戻るのは帰還時間$t=2\pi$の後である。よって、$y_1=P(y_0)$で、$y_1$は
\[ \int_{y_0}^{y_1} \frac{dy}{ay} = \int_0^{2\pi}dt=2\pi \]を満たす。積分を評価すると、
\[ y_1=e^{2\pi a}y_0 \]となる。ゆえに、
\[ P(y)=e^{2\pi a}y \]である。
i) $a>0$のとき、固定点は$y^*=0$となり、1つの周期解をもつ。蜘蛛の巣図法により、この固定点は不安定である。
ii) $a=0$のとき、ポアンカレ写像は45°の直線と一致する。つまり、すべての$y$に対して周期解をもつ。
iii) $a<0$のとき、固定点は$y^*=0$となり、1つの周期解をもつ。蜘蛛の巣図法により、この固定点は安定である。

解答者:goodbook 解答日時:2021-07-04 08:53:13

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