ストロガッツ非線形ダイナミクスとカオス　の読書会ページ

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系$\dot{x}+x=A \sin \omega t , \ \ \omega>0$
この系を初期条件$x(0)=x_0$として解くと、
\[ x(t)=\left(x_0+\frac{\omega A}{1+\omega^2} \right) e^{-t} + \frac{A}{1+\omega^2} \sin \omega t - \frac{\omega A}{1+\omega^2} \cos \omega t \]と得られる。したがって、ポアンカレ写像$P(x_0)$は
\[ P(x_0)=x \left( \frac{2 \pi}{\omega}\right) = x_0 e^{-\frac{2 \pi}{\omega}}-\frac{\omega A}{1+\omega^2} \left(1-e^{-\frac{2 \pi}{\omega}} \right) \]となる。このポアンカレ写像の傾きは$e^{-\frac{2 \pi}{\omega}} < 1$であるので、クモの巣図法により、固定点はただ1つで大域的に安定である。このとき、ポアンカレ写像の切片は$A>0$のとき負の値、$A<0$のとき正の値をとることを考慮すると、固定点$x^*$は$A>0$のとき$x^*<0$、$A<0$のとき$x^*>0$となる。これは固定点の符号を見ることで、$A$の符号を推論できることを示す。

解答者：goodbook 解答日時：2021-07-22 05:46:01

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