ストロガッツ非線形ダイナミクスとカオス　の読書会ページ

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閉軌道をもつ系$\dot{\boldsymbol{x}}=\boldsymbol{f}(\boldsymbol{x})$のフロケ乗数の導出方法

断面$S$上の点を$\boldsymbol{x}_0$とし、$\boldsymbol{x}(0)=\boldsymbol{x}_0$とすると、この系の一般解は
\[ \boldsymbol{x}(t)=\boldsymbol{\varphi}(t,\boldsymbol{x}_0) \]と表すことができる。このとき、帰還時間を$T$とすると、ポアンカレ写像$P$は
\[ P(\boldsymbol{x}_0)=\boldsymbol{\varphi}(T, \boldsymbol{x}_0) \]となる。この式から固定点$\boldsymbol{x}^*$における線形化したポアンカレ写像は
\[ DP(\boldsymbol{x}^*)=\left. \frac{\partial \boldsymbol{\varphi}(T, \boldsymbol{x}_0)}{\partial \boldsymbol{x}_0} \right|_{\boldsymbol{x}_0=\boldsymbol{x}^*} \]と書くことができる。一方、
\[ \frac{d}{dt} \frac{\partial \boldsymbol{\varphi}(t,\boldsymbol{x}_0)}{\partial \boldsymbol{x}_0} = \frac{\partial \boldsymbol{f}(\boldsymbol{x})}{\partial \boldsymbol{x}} \frac{\partial \boldsymbol{\varphi}(t,\boldsymbol{x}_0)}{\partial \boldsymbol{x}_0} \]が成り立つので、
\[ \left. \frac{\partial \boldsymbol{\varphi}(t,\boldsymbol{x}_0)}{\partial \boldsymbol{x}_0} \right|_{t=0} = \boldsymbol{I} \]を初期値として、この式を$0$から$T$まで数値積分すると、$DP(x^*)$を得ることができる。ここで、$\boldsymbol{I}$は単位行列。最後に、$DP(x^*)$の特性方程式を解くことにより、数値的にフロケ乗数を求めることができる。

解答者：goodbook 解答日時：2021-07-27 04:30:26

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