ストロガッツ非線形ダイナミクスとカオス : 数学的基礎から物理・生物・化学・工学への応用まで　の読書会ページ

投稿一覧に戻る

$N$個の同一の振動子系
\[ \dot{\theta}_i=f(\theta_i)+\frac{K}{N}\sum_{j=1}^Nf(\theta_j) \ \ (i=1,\cdots,N) \]$f(\theta)$は滑らかで$2\pi$周期的、すべての$\theta$について$f(\theta)>0$。
解）同相解を$\theta_1(t)=\cdots=\theta_N(t)=\theta^*(t)$とおくと、$N$個すべての方程式は
\[ \frac{d\theta^*(t)}{dt}=(1+K)f(\theta^*) \]となり、同相解は周期的となる。
次に、同相解の安定性を決定するため、$\eta_i(t)$を無限小の摂動として、$\theta_i(t)=\theta^*(t)+\eta_i(t)$とすると、
\[\dot{\eta}_i(t)=f'(\theta^*)\eta_i+Kf'(\theta^*)\frac{1}{N}\sum_{j=1}^N\eta_j \]が得られる。ここで、$\eta$の2次の項を落とした。
変数を
\[ \mu=\frac{1}{N}\sum_{j=1}^N\eta_j, \ \ \xi_i=\eta_{i+1}-\eta_i \ \ (i=1,\cdots,N-1) \]と変換することによって分解できて、
\[ \dot{\mu}(t)=(1+KN)f'(\theta^*)\mu(t), \ \ \dot{\xi}_i(t)=f'(\theta^*)\xi_i(t) \ \ (i=1,\cdots,N-1) \]となる。これらの方程式を変数分離すると、
\[ \frac{d\mu}{\mu}=\frac{(1+KN)f'(\theta^*)}{(1+K)f(\theta^*)}d\theta^*, \ \ \frac{d\xi_i}{\xi_i}=\frac{f'(\theta^*)}{(1+K)f(\theta^*)}d\theta^* \]となるので、閉軌道$\theta^*$を1周した後の摂動の変化は
\[ \ln\frac{\mu(T)}{\mu(0)}=\frac{1+KN}{1+K}[ \ln f(\theta^*) ]_0^{2\pi}=0, \ \ \frac{\xi_i(T)}{\xi_i(0)}=\frac{1}{1+K}[ \ln f(\theta^*) ]_0^{2\pi}=0 \]となり、$\mu(T)=\mu(0), \ \ \xi_i(T)=\xi_i(0)$が得られる。よって、すべての$i$に対して$\eta_i(T)=\eta_i(0)$である。つまり、閉軌道を1周しても摂動はすべて変化しない。したがって、特性乗数はすべて$\lambda_j=1$となる。

解答者：goodbook 解答日時：2021-08-01 11:33:09

コメントを書き込む

問題解答へのコメント

まだ、コメントはありません。