ストロガッツ非線形ダイナミクスとカオス　の読書会ページ

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(a) $Q(\theta)=q_1 \cos \theta$のとき、$n\neq 1$のモードは
\[ \dot{a}_n=n \omega b_n-Ka_n, \ \ \dot{b}_n=-n\omega a_n-Kb_n \]となる。ここで、$a_n^2+b_n^2$の時間微分を考えると、
\[ \frac{d}{dt}(a_n^2+b_n^2)=2a_n \dot{a}_n+2b_n \dot{b}_n=-2K(a_n^2+b_n^2) \]となるので、
\[ a_n^2+b_n^2=Ae^{-2Kt} \]となり、$t \to \infty$で$a_n,b_n \to 0$となる。
(b) $Q(\theta)$が
\[ Q(\theta)=\sum_{n=0}^{\infty} q_n \cos(n \theta) \]の場合、$n\neq 1$のモードは
\[ \dot{a}_n=n \omega b_n-Ka_n, \ \ \dot{b}_n=-n\omega a_n-Kb_n+q_n \]となる。ここで、これらの方程式を
\[ \begin{align}
\dot{a}_n &=n \omega \left(b_n-\frac{Kq_n}{n^2\omega^2+K^2} \right)-K \left( a_n-\frac{n\omega q_n}{n^2\omega^2+K^2} \right), \\
\dot{b}_n &=-n\omega \left( a_n-\frac{n\omega q_n}{n^2\omega^2+K^2} \right)-K \left(b_n-\frac{Kq_n}{n^2\omega^2+K^2} \right)
\end{align}
\]のように変形することができる。このとき、$\omega$が時間依存するので、
\[ \frac{d}{dt} \left( a_n-\frac{n\omega q_n}{n^2\omega^2+K^2} \right) = \dot{a}_n, \ \ \frac{d}{dt}\left(b_n-\frac{Kq_n}{n^2\omega^2+K^2} \right)=\dot{b}_n \]にはならないが、ある程度時間が経過したときに、$\omega$が適当な固定点$\omega^*$に近づいていくとすると、$\omega$を定数とみなせると考えられる。このとき、$t \to \infty$で、
\[ a_n \to \frac{n\omega^* q_n}{n^2{\omega^*}^2+K^2}, \ \ b_n \to \frac{K q_n}{n^2{\omega^*}^2+K^2} \]になると考えられる。

解答者：goodbook 解答日時：2021-08-05 05:10:46

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