ストロガッツ非線形ダイナミクスとカオス　の読書会ページ

P.96の問題番号「3.5.5」 に対する解答

(a)(3.5.3）式（p.74)を$\varepsilon = m^2gr/b^2$で書き直すと、
\[ \varepsilon \left( \frac{b}{mgT} \right)^2 \frac{d^2 \phi}{d \tau^2} = - \left( \frac{b}{mgT} \right) \frac{d \phi}{d \tau} + f(\phi) \tag{1}\]となる。ここで関心があるのは、左辺と右辺が同程度のオーダーで寄与するパラメーター領域であるので、\[ \varepsilon \left( \frac{b}{mgT} \right)^2 \approx \frac{b}{mgT} \ \]という条件が成り立つ。このとき、特徴的な時間スケール$T_{\mathrm{fast}}$は、\[ T_{\mathrm{fast}} = \frac{b}{mg} \varepsilon \tag{2} \]となる。また、(2)式に$\varepsilon = m^2gr/b^2$を代入すると、\[ T_{\mathrm{fast}} = \frac{mr}{b}　\]が得られる。
(b) (1)式を$T_{\mathrm{fast}}$で書き直すと、
\[ \left( \frac{b}{mgT_{\mathrm{fast}}} \right) \frac{d^2 \phi}{d \tau^2} = - \left( \frac{b}{mgT_{\mathrm{fast}}} \right) \frac{d \phi}{d \tau} + f(\phi) \]となる。ここで、$T_{\mathrm{fast}}$が十分小さいとすると、$f(\phi)$が無視可能である。
(c) (2)式より$T_{\mathrm{slow}} = b/mg$とすると、
\[ \varepsilon = \frac{T_{\mathrm{fast}}}{T_{\mathrm{slow}}} \]となる。従って、$\varepsilon \ll 1$ならば、$T_{\mathrm{fast}} \ll T_{\mathrm{slow}}$となる。

投稿者：goodbook 投稿日時：2020-05-21 06:46:48

P.96の問題番号「3.5.7」 に対する解答

\[ \dot{N} = r N \left( 1 - \frac{N}{K} \right) ,\ \ N(0) = N_0 \](a)それぞれの次元は$r$:1/時間、$K$:個体数、$N$:個体数
(b)$N(t) = K x(t), \ t= \tau/r$とおくと
\[ \frac{dx}{d \tau} = x(1 - x) \]が得られる。このとき、
\[ x(0) = x_0 = \frac{N_0}{K} \]
(c)$N(t) = N_0 u(t), \ t= \tau/r$とおくと
\[ \frac{du}{d \tau} = u \left( 1 - \frac{u}{k} \right), \ \ u(0) = u_0 = 1 \]
が得られる。ここで、$k=K/N_0$とおいた。
(d)一方の無次元化の方法が、他方の無次元化の用法に比べて利点をもっているとはいえない。(b)の無次元化は個体数の特徴的なスケールとして環境収容力$K$を用いたもの。一方、(c)の無次元化は個体数の特徴的なスケールとして初期($t=0$)の個体数$N_0$を用いたもの。

投稿者：goodbook 投稿日時：2020-05-23 05:02:36

P.97の問題番号「3.6.1」 に対する解答

$h>0$に対応している。

投稿者：goodbook 投稿日時：2020-05-25 05:21:14

P.97の問題番号「3.6.3」 に対する解答

超臨界ピッチフォーク分岐に対する摂動　$\dot{x} = rx + ax^2 - x^3$
(a)
(1-1) $a<0$, $r < -a^2/4$のとき、安定固定点$0$
(1-2) $a<0$, $r = -a^2/4$のとき、安定固定点$0$, 半安定固定点$a/2$
(1-3) $a<0$, $-a^2/4 < r < 0$のとき、安定固定点$0, \frac{a}{2}-\sqrt{r+\frac{a^2}{4}}$, 不安定固定点$\frac{a}{2}+\sqrt{r+\frac{a^2}{4}}$
(1-4) $a<0$, $r = 0$のとき、安定固定点$a$, 半安定固定点$0$
(1-5) $a<0$, $r > 0$のとき、安定固定点$\frac{a}{2} \pm \sqrt{r+\frac{a^2}{4}}$, 不安定固定点$0$
(2-1) $a=0$, $r < 0$のとき、安定固定点$0$
(2-2) $a=0$, $r = 0$のとき、安定固定点$0$
(2-3) $a=0$, $r > 0$のとき、安定固定点$\pm \sqrt{r}$, 不安定固定点$0$
(3-1) $a>0$, $r < -a^2/4$のとき、安定固定点$0$
(3-2) $a>0$, $r = -a^2/4$のとき、安定固定点$0$, 半安定固定点$a/2$
(3-3) $a>0$, $-a^2/4 < r < 0$のとき、安定固定点$0, \frac{a}{2}+\sqrt{r+\frac{a^2}{4}}$, 不安定固定点$\frac{a}{2}-\sqrt{r+\frac{a^2}{4}}$
(3-4) $a>0$, $r = 0$のとき、安定固定点$a$, 半安定固定点$0$
(3-5) $a>0$, $r > 0$のとき、安定固定点$\frac{a}{2} \pm \sqrt{r+\frac{a^2}{4}}$, 不安定固定点$0$
(b)
$r<-a^2/4$の領域では、1つの固定点
$r=-a^2/4$かつ$a\neq 0$の境界領域では、2つの固定点
$-a^2/4<r<0$の領域では、3つの固定点
$r=0$かつ$a\neq 0$の境界領域では、2つの固定点
$r>0$かつ$a\neq 0$の領域では、3つの固定点
$r=0$かつ$a=0$の点では、1つの固定点

$r=-a^2/4$かつ$a\neq 0$の境界で、サドルノード分岐
$r=0$かつ$a\neq 0$の境界で、トランスクリティカル分岐
$r=0$かつ$a=0$の点で超臨界ピッチフォーク分岐

投稿者：goodbook 投稿日時：2020-05-25 06:51:42

P.98の問題番号「3.6.5」 に対する解答

(a)この系の運動方程式は
\[ m \ddot{x} + mg \sin \theta - k (\sqrt{a^2+x^2} - L_0) \frac{x}{\sqrt{a^2+x^2} } = 0 \]となる。従って、釣り合いの位置では、
\[ mg \sin \theta = kx \left( 1 - \frac{L_0}{\sqrt{a^2+x^2}} \right) \tag{1} \]が成り立つ。
(b) $h$と$R$をそれぞれ
\[ x = au, \ \ h = \frac{mg \sin \theta}{ak}, \ \ R=\frac{L_0}{a} \]とおくと、(1)式は
\[ 1 - \frac{h}{u} = \frac{R}{\sqrt{1 + u^2}} \tag{2} \]で表示される。
(c)
i) $R < 1$のとき、1つの固定点
ii) $1 < R < (1 + h^{\frac{2}{3}})^{\frac{3}{2}}$のとき、1つの固定点
iii) $R = (1 + h^{\frac{2}{3}})^{\frac{3}{2}}$のとき、2つの固定点
iv) $R > (1 + h^{\frac{2}{3}})^{\frac{3}{2}}$のとき、3つの固定点
(d) $u$が十分小さいとすると、(2)式の右辺は
\[ 1 - \frac{h}{u} = \frac{r+1}{\sqrt{1 + u^2}} = (r+1) \left( 1 - \frac{1}{2}u^2 + \mathcal{O}(u^4) \right) \]従って\[ h + ru - \frac{r+1}{2}u^3 + \mathcal{O}(u^5) = 0 \]と変形できるので、さらに$r$も十分小さいとすると、
\[ h + ru - \frac{1}{2}u^3 \approx 0 \]が得られる。
(e) サドルノード分岐が起こる$u$の値は
\[ \frac{d}{du} \left[ h + ru - \frac{1}{2}u^3 \right] = 0 \]を満たすので、
\[ u = - \sqrt{\frac{2r}{3}} \]が得られる。ここで、
\[ u = - \sqrt{\frac{2r}{3}} + v \]とおき、$v$が十分小さいとすると、
\[ h + ru - \frac{1}{2}u^3 \approx h - \frac{2r}{3}\sqrt{\frac{2r}{3}}+ \frac{3}{2}\sqrt{\frac{2r}{3}}v^2 \]となり、サドルノード分岐の近似式が得られる。
(f) 分岐曲線は$1-\frac{h}{u}$と$\frac{R}{\sqrt{1+u^2}}$が接するところに現れる。従って、
\[ 1-\frac{h}{u} = \frac{R}{\sqrt{1+u^2}} \\
\frac{h}{u^2} = - \frac{Ru}{(1+u^2)^{\frac{3}{2}}} \]を満たす。これらの方程式から\[ h(u) = -u^3, \ \ R(u) = (1 + u^2)^{\frac{3}{2}} \tag{3} \]が得られる。
(g) (3)式から
\[ r = (1 + h^{\frac{2}{3}})^{\frac{3}{2}} - 1 \]が得られる。従って、
i) $ r < (1 + h^{\frac{2}{3}})^{\frac{3}{2}} - 1 $のとき、1つの固定点
ii) $ r = (1 + h^{\frac{2}{3}})^{\frac{3}{2}} - 1 $のとき、2つの固定点
iii) $ r > (1 + h^{\frac{2}{3}})^{\frac{3}{2}} - 1 $のとき、3つの固定点
(h)
i) $L_0 < a$のとき、ばねがビーズを引っ張る力と重力の$x$方向が釣り合う点が安定固定点となる。
ii) $L_0 > a$のとき、$\theta$が小さいときはビーズが下に下がり、ばねがビーズを引っ張る力と重力の$x$方向が釣り合う点が安定固定点となるが、$\theta$が大きくなると、新たに$x<0$の領域で固定点が2点現れる。それらはそれぞれ$x=0$の付近と$x = -\sqrt{L_0^2 - a^2}$の付近に現れ、前者はビーズを押す力と重力がちょうど鉛直方向に向いている場合で不安定固定点、後者はばねがビーズを押す力と重力の$x$方向が釣り合う点で安定固定点となる。

投稿者：goodbook 投稿日時：2020-05-28 05:39:40