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ストロガッツ非線形ダイナミクスとカオス(9784621085806)

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ストロガッツ非線形ダイナミクスとカオス

著者:スティーヴン・H.ストロガッツ/田中久陽

出版社:丸善出版 (2015年01月30日頃)

ISBN-10:4621085808

ISBN-13:9784621085806

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P.99の問題番号「3.6.7」 に対する解答

(a) $h = \tanh^{-1}m - Jnm$の解。この式を変形すると、
\[ \tanh \frac{h+Jnm}{T} = m \]となる。以下、$h>0$とする。
i) $h > Jn$のとき、1つの安定固定点$m^*$をもつ。その固定点は温度$T$が高いとき、$m^*=0$付近に存在し、温度が下がるにつれて$m^*=1$に近づいていく。
ii) $h < Jn$のとき、$T=T_c$でサドルノード分岐が生じる。このサドルノード分岐が起こる点は、
\[ \tanh \frac{h+Jnm^*}{T_c} = m^* \\
\frac{d}{dm} \left[ \tanh \frac{h+Jnm^*}{T_c} \right] = \frac{Jn}{T_c} \cosh^2 \frac{h+Jnm^*}{T_c} = 1
\]を満たす。(これを解析的に解くことは難しい)。
従って、$T>T_c$では、$m^* > 0$の領域に$m^*=0$に近い1つの安定固定点をもち、$T<T_c$ではサドルノード分岐が生じ、$m^* < 0$の領域にも1つの安定固定点と1つの不安定固定点が生じる。$T\to0$に近づくと、$m^* > 0$の領域の1つの安定固定点は1に近づき、一方、$m^* < 0$の領域の1つの安定固定点は$-1$、もう1つの不安定固定点は$-h/Jn$に近づく。
(b) $h=0$のとき、$T_c = Jn$となる。

投稿者:goodbook 投稿日時:2020-06-03 04:24:44

P.100の問題番号「3.7.1」 に対する解答

(3.7.3)式の右辺を
\[ f(x) = rx \left( 1 - \frac{x}{k} \right) - \frac{x^2}{1+x^2} \]とおくと、
\[ f'(x) = r \left( 1 - \frac{2x}{k} \right) - \frac{2x}{(1+x^2)^2} \]となるので、$f'(0)=r>0$となる。従って、線形安定性解析により$x^*=0$は不安定な固定点。

投稿者:goodbook 投稿日時:2020-06-04 05:01:12

P.100の問題番号「3.7.2」 に対する解答

(a) (3.7.8)式、(3.7.9)式はそれぞれ
\[ r=\frac{2x^3}{(1+x^2)^2} , \ \ k=\frac{2x^3}{x^2-1} \]これらの式のふるまいを調べるために、$r,k$の$x$での美文を求めると
\[ \frac{dr}{dx}=\frac{-2x^2(x^2-3)}{(1+x^2)^3} , \ \ \frac{dk}{dx}=\frac{2x^2(x^2-3)}{(x^2-1)^2} \]となる。したがって、$r(x)$は$x\to1$で$r\to1/2$となり、その後、$x=\sqrt{3}$で極大値$3\sqrt{3}/8$をとり、$x\to \infty$で$r=0$に近づいていく。一方、$k(x)$は$x\to1$で$k\to \infty$となり、その後$x=\sqrt{3}$で極小値$3\sqrt{3}$をとり、$x\to \infty$でふたたび、$k=2x$に近づいていく形で$\infty$に発散していく。
(b) 図3.7.5のカプス点は$r$が最大値、$k$が最小値となる点なので、
\[ x=\sqrt{3}, \ \ r=\frac{3\sqrt{3}}{8}, \ \ k=3\sqrt{3} \]

投稿者:goodbook 投稿日時:2020-06-04 05:18:17

P.100の問題番号「3.7.3」 に対する解答

漁業のモデル
\[ \dot{N} = rN \left( 1- \frac{N}{K} \right) - H \](a) $N=Kx, \ t=T \tau$とおくと、
\[ \frac{dx}{d \tau} = rTx(1-x) - \frac{T}{K}H \]
となるので、$T=1/r, \ h=H/rK$とおけば
\[ \frac{dx}{d \tau} = x(1-x) - h \]が得られる。
(b) $x(1-x)-h=0$の解は
\[ x = \frac{1 \pm \sqrt{1-4h}}{2} \]である。従って
i) $h>1/4$のとき、固定点なし。
ii) $h<1/4$のとき、$x = (1 + \sqrt{1-4h})/2$で安定固定点、$x = (1 - \sqrt{1-4h})/2$で不安定固定点をもつ。
(c) $h_c=1/4$でサドルノード分岐
(d) $h<h_c$のとき、十分時間が経つと
\[ x = \frac{1 + \sqrt{1-4h}}{2} \ 即ち \ N=Kx=\frac{K + \sqrt{K^2-4KH/r}}{2}\]に近づいていく。これは、漁がおこなわれることで、本来の環境収容力よりも小さな個体数に近づいていくことを示す。$h>h_c$のとき、乱獲により魚が枯渇する。

投稿者:goodbook 投稿日時:2020-06-06 06:19:59

P.101の問題番号「3.7.4」 に対する解答

漁業の修正モデル
\[ \dot{N} = rN \left( 1- \frac{N}{K} \right) - H \frac{N}{A+N} \](a) 1日の天候や漁の場所の影響など?
(b) $x=N/K, \ \tau = rt, \ h=H/rK, \ a=A/K$とおくと、
\[ \frac{dx}{d \tau} = x(1-x) - h \frac{x}{a+x} \]となる。
(c) まず、方程式
\[ x(1-x) - h \frac{x}{a+x} = 0 \]の解(候補)は
\[ x = 0, \frac{1-a \pm \sqrt{(1+a)^2 - 4h}}{2} \]となる。従って
(1) $h > (1+a)^2/4$のとき、1つの安定固定点$0$をもつ。
(2) $h = (1+a)^2/4$のとき、1つの安定固定点$0$、1つの半安定固定点$1-a$をもつ。
(3-1) $a < h < (1+a)^2/4$かつ$0<a<1$のとき、2つの安定固定点$0, \ (1-a + \sqrt{(1+a)^2 - 4h})/2$、1つの不安定固定点$ (1-a - \sqrt{(1+a)^2 - 4h})/2$をもつ。
(3-2) $a < h < (1+a)^2/4$かつ$a>1$のとき、2つの安定固定点$0, \ (1-a - \sqrt{(1+a)^2 - 4h})/2$、1つの不安定固定点$ (1-a + \sqrt{(1+a)^2 - 4h})/2$をもつ。
(4) $h=a$のとき、1つの安定固定点$1-a$、1つの半安定固定点$0$をもつ。
(5) $h<a$のとき、2つの安定固定点$ (1-a \pm \sqrt{(1+a)^2 - 4h})/2$、1つの不安定固定点$0$をもつ。
(d) (c)の場合分けにおいて、(3)から(5)への変化を見ると、$x=0$でトランスクリティカル分岐を起こしていることがわかる。
(e) (c)の場合分けにおいて、(1)から(3-1)への変化に対応する。即ち、$a_c=1$でサドルノード分岐が起こる。
(f) (c)の場合分けにおいて、(1)→(3-1)→(5)→(3-1)→(1)の変化を考える。まず、(1)の領域で安定固定点$x^*=0$であったものは、(3-1)の領域でもそのまま安定固定点として残るが、(5)の領域で$x^*=0$は不安定固定点となり、別の安定固定点$x^* = (1-a + \sqrt{(1+a)^2 - 4h})/2$に移動する。その後、(3-1)の領域に戻っても$x^* = (1-a + \sqrt{(1+a)^2 - 4h})/2$が安定固定点としてそのまま残り、(1)の領域に入ると$x^*=0$にふたたび移動する。即ち、これはヒステリシスを生じていることを示す。

投稿者:goodbook 投稿日時:2020-06-06 06:57:47

P.101の問題番号「3.7.5」 に対する解答

生化学的スイッチ
\[ \dot{g} = k_1 s_0 - k_2 g + \frac{k_3 g^2}{k_4^2 + g^2} \](a) $g=k_4 x$、$t = T \tau$とおくと、
\[ \frac{dx}{d \tau} = \frac{k_1}{k_4} T s_0 - k_2 Tx + \frac{k_3T}{k_4} \frac{x^2}{1+x^2} \]となる。さらに$T=k_4/k_3$、$s = k_1s_0/k_3$、$r=k_2k_4/k_3$とおくと
\[ \frac{dx}{d \tau} = s - rx + \frac{x^2}{1+x^2} \]が得られる。
(b) $s=0$のとき、$-rx + x^2/(1+x^2) = 0$より
\[ x = 0, \ \frac{1 \pm \sqrt{1-4 r^2}}{2r} \]が得られる。従って、2つの正の値の固定点を持つためには$1-4r^2 > 0$となるので、$r_c = 1/2$となる。
(c) 関数$f_1(x) = s-rx$、$f_2(x) = -x^2/(1+x^2)$とおいて、$f_1(x)$と$f_2(x)$を描くことにより解析する。特に$f_2(x)$が$(1/\sqrt{3}, -3\sqrt{3}/8)$で変曲点を持つことに注意する。
i) $r < r_c$のとき、$s=0$では、$x= 0, \ (1+\sqrt{1-4r^2})/2r$に安定固定点、$x= (1-\sqrt{1-4r^2})/2r$に不安定固定点がある。$s$がゆっくり大きくなってくると、安定固定点$0$はすこしずつ大きくなり、一方、不安定固定点$(1-\sqrt{1-4r^2})/2r$は少しずつ小さくなってきて、ある$s=s^*$でサドルノード分岐を起こして両者は消滅する。したがって、最初$x^*=0$の安定固定点は$s>s^*$のところで$(1+\sqrt{1-4r^2})/2r$が大きくなった値を持つ安定固定点に移る。その後、$s$をゆっくり小さくしていっても、$s=0$では安定固定点$(1+\sqrt{1-4r^2})/2r$に留まる。
ii) $r_c < r < 3\sqrt{3}/8$のとき、$s=0$で安定固定点$0$をもつ。$s$がゆっくり大きくなると、ある$s=s_1^*$でサドルノード分岐が生じ、不安定固定点と安定固定点が生じる。さらに$s$が大きくなると、$s=s_2^*$でサドルノード分岐が生じ$0$にあった安定固定点と$s=s_1^*$で生じた不安定固定点が対消滅する。従って、最初$x^*=0$にあった固定点は$s_1^*$で生じた安定固定点に移る。その後、$s$をゆっくり小さくしていくと、$s>s_1^*$までは安定固定点に留まるが、$s<s_1^*$で再び$x^*=0$に戻る。
iii) $r > 3\sqrt{3}/8$のとき、$s=0$で$x^*=0$だったものが、$s$がおおきくなるにつれて$x^*>0$の値に単調に大きくなっていく。その後、$s$が小さくなるにつれて単調に小さくなっていき、$s=0$で再び$x^*=0$に戻る。
(d) 分岐は$f_1(x^*) = f_2(x^*)$と$f'_1(x^*) = f'_2(x^*)$の2式を満たすときにおこるので、これらをパラメトリックに表すと、
\[ r= \frac{2x}{(1+x^2)^2}, \ s= \frac{x^2(1-x^2)}{(1+x^2)^2} \]が得られる。これらのパラメトリックな方程式から
$(0,0)$と$(3 \sqrt{3}/8,1/8)$を結ぶ曲線上と
$(1/2,0)$と$(3 \sqrt{3}/8,1/8)$を結ぶ曲線上でサドルノード分岐が起こることがわかる。
(e) $(0,0)$と$(3 \sqrt{3}/8,1/8)$を結ぶ曲線と
$(1/2,0)$と$(3 \sqrt{3}/8,1/8)$を結ぶ曲線及び
$(0,0)$と$(1/2,0)$を結ぶ直線で囲まれた領域で固定点が3つ生じる。この領域の外側では固定点は1つ。

投稿者:goodbook 投稿日時:2020-06-07 07:33:26

P.102の問題番号「3.7.6」 に対する解答

疫病のモデル
\[ \dot{x} = -kxy, \ \dot{y} = kxy - ly, \ \dot{z} = ly \](a) 上記式を足し合わせると$\dot{x} + \dot{y} + \dot{z} = 0$となるので、$x + y + z = N$となる。
(b) $\dot{x} = -kxy$と$\dot{z} = ly$より、
\[ \dot{x} = -kx \frac{\dot{z}}{l} \to \frac{\dot{x}}{x} + \frac{k}{l} \dot{z} =0 \to \frac{d}{dt} \left( \ln x + \frac{k}{l} z \right) = 0 \]となる。従って、$x(0) = x_0, \ z(0) = 0$とすると、
\[ x = x_0 \exp (-kz/l) \tag{1} \]となる。
(c) $x+y+z=N$と(1)式を$\dot{z}=ly$に代入すると、
\[ \dot{z} = l( N-z-x_0 \exp (-kz/l) ) \]が得られる。
(d) $z=lu/k$, $t=T \tau$とおくと、
\[ \frac{du}{d \tau} = kTN - lTu - kTx_0 \exp (-u) \]となり、さらに$T = 1/kx_0, \ a = N/x_0, b = l/kx_0$とおくと、
\[ \frac{du}{d \tau} = a - bu - \exp (-u) \]となる。
(e) $x_0 \leq N$であるので、$a = N/x_0 \geq 1$。また、$k, \ l$は正の定数であるので、$b=l/kx_0 > 0$となる。
(f) i) $a=1, \ b > 1$のとき、安定固定点$u^*=0$、不安定固定点$u^*<0$をもつ。
ii) $a=1, \ b < 1$のとき、安定固定点$u^*>0$、不安定固定点$u^*=0$をもつ。
iii) $a>1$のとき、安定固定点$u^*>0$、不安定固定点$u^*<0$をもつ。
(g) $\dot{u}(t)$が最大になるのは、
\[ \frac{d}{d u} [ a - bu - \exp (-u) ] = 0 \]のとき、すなわち$u = - \ln b$のとき。また、
\[ \dot{z} = \frac{l}{k} \dot{u}, \ y = \frac{1}{l} \dot{z} = \frac{1}{k}\dot{u} \]であるので、$\dot{u}(t)$が最大になるとき、$\dot{z}, y$も最大となる。
(h) $b<1$のとき、$\dot{u}(t)$は安定固定点$u^*>0$をもつ。また、$\dot{u}(t)$は$a - bu - \exp (-u)$に従って変化するので、$0<u<u^*$では$\dot{u}(t) > 0$で、$t_{\rm{peak}}$で最大値$a-b(1-\ln b)$をとる。従って、$\dot{u}(t)$は$t=0$で増加しており、ある時点$t_{\rm{peak}}$で最大、その後$\dot{u}(t)$は減少し、$u=u^*$となったところで、$\dot{u}=0$となる。
(i) $b>1$のとき、$\dot{u}(t)$が最大になるのは、$u = - \ln b < 0$のときとなるが、$u \geq 0$であり、また、$\dot{u}(t)$は$0<u<u^*$で単調減少するので、$u=0$のとき最大、すなわち$t_{\rm{peak}}=0$となる。
(j) $b=1$のとき、$l=kx_0$が成り立つ。このとき、$y(0)=y_0$とおくと、
\[ \dot{x}(0) = -kx_0 y_0, \ \dot{y}(0) = (kx_0 - l)y_0 = 0, \ \dot{z}(0) = l y_0 \]となる。この場合、罹病する率と死亡する率は同程度となり、罹病した人の数はほとんど変わらず、一定の数$y_0$にほぼ保たれる。
(k) エイズの伝染は、性行為による感染、血液を介した感染、母子感染などがある。この疫病モデルをエイズの伝染に適用するためには、性行為による感染や母子感染のような人と人が接触するだけでなく、血液を介する感染のような人以外の感染経路も考慮する必要がある。従って、血液を介する感染により罹病する率を$m$とすると、モデルの改善として、
\[ \dot{x} = -kxy -mx, \ \dot{y} = kxy +mx - ly, \ \dot{z} = ly \]が考えられる。

投稿者:goodbook 投稿日時:2020-06-11 05:02:09

P.126の問題番号「4.1.1」 に対する解答

$\dot{\theta} = \sin(a \theta)$が円周上に矛盾なく定義されたベクトル場を与えるには任意の整数$k$について
\[ \sin(a \theta) = \sin(a (\theta + 2 \pi k) ) \]が成り立てばよい。右辺は、
\[ \sin(a (\theta + 2 \pi k) ) = \sin(a \theta) \cos(2 \pi ka) + \cos(a \theta) \sin(2 \pi ka) \]となるので、$a$の条件は
\[ \sin(2 \pi ka) = 0, \ \cos(2 \pi ka) = 1 \]が成り立つ。これが任意の整数$k$に対して成り立つためには$a$は整数でならなければならないことが分かる。

投稿者:goodbook 投稿日時:2020-06-12 06:00:15

P.126の問題番号「4.1.2」 に対する解答

$\dot{\theta} = 1 + 2 \cos \theta$
$f(\theta) = 1 + 2 \cos \theta$とおくと、
$f(\theta) = 0$より$\theta^* = \pm 2 \pi /3$。
$f'(\theta) = -2 \sin \theta$であるので、$f'(2\pi/3) = - \sqrt{3} < 0$、$f'(ー2\pi/3) = \sqrt{3} > 0$より、
$\theta^* = 2 \pi /3$で安定固定点、$\theta^* = -2 \pi /3$で不安定固定点をとる。

投稿者:goodbook 投稿日時:2020-06-14 07:09:30

P.126の問題番号「4.1.3」 に対する解答

$\dot{\theta} = \sin 2\theta$
$f(\theta) = \sin 2\theta$とおくと、
$f(\theta) = 0$より$\theta^* = -\pi/2, 0, \pi/2, \pi$。
$f'(\theta) = 2 \cos 2\theta$であるので、$f'(-\pi/2) = - 2 < 0$、$f'(0) = 2 > 0$、$f'(\pi/2) = - 2 < 0$、$f'(\pi) = 2 > 0$より、
$\theta^* = \pm \pi /2$で安定固定点、$\theta^* = 0, \pi$で不安定固定点をとる。

投稿者:goodbook 投稿日時:2020-06-14 07:15:00

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