ストロガッツ非線形ダイナミクスとカオス　の読書会ページ

P.155の問題番号「5.1.7」 に対する解答

系$\dot{x} = x, \ \ \dot{y} = x + y$

この方程式の解を求める。
まず、$\dot{x} = x$より$x=x_0e^t$を得る。次にこれを$\dot{y}=x+y$に代入すると、
\[ \dot{y} = x_0 e^t + y \]となる。この両辺に$e^{-t}$をかけると、
\[ \dot{y} e^{-t} = x_0 + y e^{-t} \\ \dot{y} e^{-t} - y e^{-t}= x_0 \\ \frac{d}{dt} (y e^{-t}) = x_0 \]と変形できるので、
\[ y e^{-t} = x_0 t + y_0 \\ y = (x_0 t + y_0) e^t \]となる。

ベクトル場、典型的な軌道は省略。

投稿者：goodbook 投稿日時：2020-07-08 05:47:22

P.155の問題番号「5.1.9」 に対する解答

系$\dot{x} = -y, \ \ \dot{y} = -x$

(a) 省略
(b) $\dot{x}$の式を$\dot{y}$の式で割ると、
\[ \frac{\dot{x}}{\dot{y}} = \frac{y}{x} \\
x \dot{x} - y \dot{y} = 0 \\
\frac{1}{2} \frac{d}{dt} ( x^2 - y^2 ) = 0 \]となるので、この両辺を積分すると、
\[ x^2 - y^2 = C \]が得られる。

(c) 安定多様体は$y=x$、不安定多様体は$y=-x$となる。

(d) 系を$u=x+y, \ \ v=x-y$として書き直すと、
\[ \dot{u} = \dot{x} + \dot{y} = -y -x = -u \\
\dot{v} = \dot{x} - \dot{y} = -y + x = v \]となる。これらの方程式を解くと、
\[ u(t) = u_0 e^{-t}, \ \ v(t) = v_0 e^t \]が得られる。

(e) 安定多様体は$y=x \ \ \to \ \ v = x- y =0$、即ち$u$軸となり、
不安定多様体は$y=-x \ \ \to \ \ u = x+ y =0$、即ち$v$軸となる。

(f) (d)より
\[ x(t) = \frac{1}{2} (u_0 e^{-t} + v_0 e^t) \\
y(t) = \frac{1}{2} (u_0 e^{-t} - v_0 e^t) \]となる。ここで、
\[x_0 = x(0) = \frac{1}{2} (u_0 + v_0), \ \ y_0 = y(0) = \frac{1}{2} (u_0 - v_0) \]とすると、
\[ u_0 = x_0 + y_0, \ \ v_0 = x_0 - y_0 \]となるので、
\[ x(t) = \frac{x_0 + y_0}{2} e^{-t} + \frac{x_0 - y_0}{2} e^t = x_0 \cosh t - y_0 \sinh t \\
y(t) = \frac{x_0 + y_0}{2} e^{-t} - \frac{x_0 - y_0}{2} e^t = - x_0 \sinh t + y_0 \cosh t \]を得る。

投稿者：goodbook 投稿日時：2020-07-10 04:29:19

P.156の問題番号「5.1.11」 に対する解答

(a) $\dot{x} = y, \ \ \dot{y} = -4 x$
この系の軌道は楕円$x^2 + \frac{y^2}{4} = C$となる。
従って、任意の$\varepsilon > 0$に対して$\delta = \varepsilon/2$とると、
$\sqrt{ x^2(0) + y^2(0)} < \delta$ならば$\sqrt{ x^2(t) + y^2(t)} < \varepsilon$となるので、
この系はリアプノフ安定となる。

(d) $\dot{x} = 0, \ \ \dot{y} = -y$
この系の解は$x= x_0, \ \ y = y_0 e^{-t}$である。
従って、任意の$\varepsilon > 0$に対して$\delta = \varepsilon$ととると、
$\sqrt{ x^2(0) + y^2(0)} < \delta$ならば$\sqrt{ x^2(t) + y^2(t)} < \varepsilon$となるので、
この系はリアプノフ安定となる。

(e) $\dot{x} = -x, \ \ \dot{y} = -5y$
この系の解は、$x= x_0 e^{-t}, \ \ y= y_0 e^{-5t}$である。
従って、任意の$(x(0), y(0)) = (x_0, y_0)$に対して
$\lim_{t \to \infty} (x(t), y(t)) = (0,0)$となるので吸引的であり、
また、任意の$\varepsilon > 0$に対して$\delta = \varepsilon/2$とると、
$\sqrt{ x^2(0) + y^2(0)} < \delta$ならば$\sqrt{ x^2(t) + y^2(t)} < \varepsilon$となるので、
この系はリアプノフ安定でもある。つまり、この系は漸近安定である。

投稿者：goodbook 投稿日時：2020-07-12 10:56:28

P.156の問題番号「5.1.13」 に対する解答

サドル点はある方向から見ると、谷の底になっているが、別の方向からみると山の頂上になっている。この形がちょうど馬の鞍（サドル）と同じ形をしているため。

投稿者：goodbook 投稿日時：2020-07-12 11:14:15

P.157の問題番号「5.2.2」 に対する解答

系$\dot{x}= x-y, \ \ \dot{y} = x+y$
(a) この系を$\dot{\boldsymbol{x}} = A \boldsymbol{x}$の形で書くと
\[ A = \begin{pmatrix} 1 & -1 \\ 1 & 1 \end{pmatrix} \]となる。また、特性多項式は
\[ \mathrm{det} (A-\lambda I) = \mathrm{det} \begin{pmatrix} 1-\lambda & -1 \\ 1 & 1 - \lambda \end{pmatrix} = \lambda^2 -2 \lambda +2 = 0 \]となる。従って、行列$A$の固有値は
\[ \lambda_1 = 1+i, \ \ \lambda_2 = 1-i \]となる。固有値$\lambda_1 =1+i$の固有ベクトルは
\[ \begin{pmatrix} -i & -1 \\ 1 & -i \end{pmatrix} \begin{pmatrix} v_1 \\ v_2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \end{pmatrix} \ \ \mathrm{i.e.} \ \ v_1- i v_2 = 0 \]であるので、
\[ \boldsymbol{v}_1 = \begin{pmatrix} i \\ 1 \end{pmatrix} \]となる。一方、固有値$\lambda_2 =1-i$の固有ベクトルは
\[ \begin{pmatrix} i & -1 \\ 1 & i \end{pmatrix} \begin{pmatrix} v_1 \\ v_2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \end{pmatrix} \ \ \mathrm{i.e.} \ \ v_1 + i v_2 = 0 \]であるので、
\[ \boldsymbol{v}_2 = \begin{pmatrix} -i \\ 1 \end{pmatrix} \]となる。

(b) 一般解は
\[ \begin{eqnarray}
\boldsymbol{x}(t) &=& c_1 e^{(1+i)t} \begin{pmatrix} i \\ 1 \end{pmatrix} + c_2 e^{(1-i)t} \begin{pmatrix} -i \\ 1 \end{pmatrix} \\
&=& c_1 e^t ( \cos t + i \sin t ) \begin{pmatrix} i \\ 1 \end{pmatrix} + c_2 e^t ( \cos t - i \sin t ) \begin{pmatrix} -i \\ 1 \end{pmatrix} \\
&=& \begin{pmatrix} i(c_1-c_2) e^t \cos t - (c_1 + c_2) e^t \sin t \\ (c_1 + c_2) e^t \cos t + i (c_1 - c_2) e^t \sin t \end{pmatrix} \\
&=& \begin{pmatrix} C_1 e^t \cos t - C_2 e^t \sin t \\ C_2 e^t \cos t + C_1 e^t \sin t \end{pmatrix}
\end{eqnarray} \]となる。ここで、$C_1 = i(c_1 - c_2), \ \ C_2=c_1+c_2$とおいた。

投稿者：goodbook 投稿日時：2020-07-15 05:16:10