P.210の問題番号「6.6.9」 に対する解答

\[ \frac{d \phi_k}{d \tau} = \Omega + a \sin \phi_k + \frac{1}{2} \sum_{j=1}^2 \sin \phi_j \ \ \ \ (k=1,2) \]
(a) $\theta_k = \phi_k - \pi/2$とおくと、系は
\[ \frac{d \theta_k}{d \tau} = \Omega - a \cos \theta_k - \frac{1}{2} \sum_{j=1}^2 \cos \theta_j \ \ \ \ (k=1,2) \]となる。変数変換$\tau \to -\tau, \ \ \theta_k \to -\theta_k$を考えると、
\[ \frac{d \theta_k}{d \tau} \to \frac{d \theta_k}{d \tau}, \ \ \cos \theta_k \to \cos \theta_k \]であるので、この変換に対して系は不変である。つまり、変数変換$\tau \to -\tau, \ \ \theta_k \to -\theta_k$に対して可逆である。

(b) この系を書き下すと、
\[ \frac{d \theta_1}{d \tau} = \Omega - \frac{2a+1}{2} \cos \theta_1 - \frac{1}{2} \cos \theta_2, \\
\frac{d \theta_2}{d \tau} = \Omega - \frac{1}{2} \cos \theta_1 - \frac{2a+1}{2} \cos \theta_2 \]となり、固定点は、
\[ \cos \theta_1 = \frac{\Omega}{a+1}, \ \ \cos \theta_2 = \frac{\Omega}{a+1} \]を満たす$\theta_1, \ \ \theta_2$の組となる。
i) $| \Omega/(a+1)| < 1$のとき、$\cos \theta^* = \Omega/(a+1), \ \ 0 < \theta^* < \pi$とすると、固定点は$(\pm \theta^*, \pm \theta^*)$の4点となる。
ii) $| \Omega/(a+1)| > 1$のとき、$-1 \leq \cos \theta_1, \ \cos \theta_2 \leq 1$であるので、固定点はなし。

ストロガッツ非線形ダイナミクスとカオス(9784621085806)

投稿者：goodbook 投稿日：2020-12-12 09:26:30

P.209の問題番号「6.6.8」 に対する解答へのコメント

\[ \dot{x} = \frac{\sqrt{2}}{4} x(x-1) \sin \phi, \ \ \dot{\phi} = \frac{1}{2} \left( \beta - \frac{1}{\sqrt{2}} \cos \phi - \frac{1}{8 \sqrt{2}} x \cos \phi \right) \\ 0 \leq x \leq 1, \ \ - \pi \leq \phi \leq \pi \]
(a) 変数変換$t \to -t, \ \ \phi \to -\phi$を考えると、
$ \dot{x} \to -\dot{x}, \ \ \dot{\phi} \to \dot{\phi}, \ \ \sin \phi \to - \sin \phi, \ \ \cos \phi \to \cos \phi$
となるので、系は不変である。したがって、変数変換$t \to -t, \ \ \phi \to -\phi$のもとで系は可逆である。

ストロガッツ非線形ダイナミクスとカオス : 数学的基礎から物理・生物・化学・工学への応用まで(9784621085806)

投稿者：goodbook 投稿日：2020-12-08 05:00:20

P.209の問題番号「6.6.8」 に対する解答

\[ \dot{x} = \frac{\sqrt{2}}{4} x(x-1) \sin \phi, \ \ \dot{\phi} = \frac{1}{2} \left( \beta - \frac{1}{\sqrt{2}} \cos \phi - \frac{1}{8 \sqrt{2}} x \cos \phi \right) \\ 0 \leq x \leq 1, \ \ - \pi \leq \phi \leq \pi \]
(a) 変数変換$t \to -t, \ \ \phi \to -\phi$を考えると、
$ \dot{x} \to -\dot{x}, \ \ \dot{\phi} \to \dot{\phi}, \ \ \sin \phi \to - \sin \phi, \ \ \cos \phi \to \cos \phi$
となるので、系は不変である。したがって、変数変換$t \to -t, \ \ \phi \to -\phi$のもとで系は可逆である。

ストロガッツ非線形ダイナミクスとカオス : 数学的基礎から物理・生物・化学・工学への応用まで(9784621085806)

投稿者：goodbook 投稿日：2020-12-08 04:40:44

P.209の問題番号「6.6.6」 に対する解答へのコメント

系$\dot{x} = y- y^3, \ \ \dot{y} = -x - y^2$
(a) この系のヌルクラインは$y=0, \ \ y=\pm 1, \ \ x = -y^2$。添付図の青線。

(b) i) $x<-y^2$で
①$y>1$の領域では、$\dot{x}<0, \ \ \dot{y} >0$。
②$0<y<1$の領域では、$\dot{x}>0, \ \ \dot{y} >0$。
③$-1<y<0$の領域では、$\dot{x}<0, \ \ \dot{y} >0$。
④$y<-1$の領域では、$\dot{x}>0, \ \ \dot{y} >0$。
ii) $x>-y^2$で
①$y>1$の領域では、$\dot{x}<0, \ \ \dot{y} <0$。
②$0<y<1$の領域では、$\dot{x}>0, \ \ \dot{y} <0$。
③$-1<y<0$の領域では、$\dot{x}<0, \ \ \dot{y} <0$。
④$y<-1$の領域では、$\dot{x}>0, \ \ \dot{y} <0$。

(c) 固定点$(-1,1)$におけるヤコビ行列は
\[ A = \begin{pmatrix} 0 & -2 \\ -1 & -2 \end{pmatrix} \] $\tau = -2 <0, \ \ \Delta = -2 <0$となるので、サドル点。固有値、固有ベクトルは
\[ \lambda = -1 + \sqrt{3} \ \ \to \ \ \begin{pmatrix} 2 \\ 1 - \sqrt{3} \end{pmatrix}, \\
\lambda = -1 - \sqrt{3} \ \ \to \ \ \begin{pmatrix} 2 \\ 1 + \sqrt{3} \end{pmatrix} \]となる。
一方、固定点$(-1,-1)$におけるヤコビ行列は
\[ A = \begin{pmatrix} 0 & -2 \\ -1 & 2 \end{pmatrix} \] $\tau = 2 >0, \ \ \Delta = -2 <0$となるので、サドル点。固有値、固有ベクトルは
\[ \lambda = 1 + \sqrt{3} \ \ \to \ \ \begin{pmatrix} 2 \\ -1 - \sqrt{3} \end{pmatrix}, \\
\lambda = 1 - \sqrt{3} \ \ \to \ \ \begin{pmatrix} 2 \\ -1 + \sqrt{3} \end{pmatrix} \]となる。

ストロガッツ非線形ダイナミクスとカオス : 数学的基礎から物理・生物・化学・工学への応用まで(9784621085806)

投稿者：goodbook 投稿日：2020-12-02 05:43:55

P.209の問題番号「6.6.5」 に対する解答

系$\ddot{x} + f(\dot{x}) + g(x)=0$、$f$は偶関数で、$f,\ g$は滑らか。
(a) $t \to -t$とすると、$x \to x, \ \ \dot{x} \to -\dot{x}, \ \ \ddot{x} \to \ddot{x}$。
このとき、$f$は偶関数であるので、$f(\dot{x}) \to f(-\dot{x}) = f(\dot{x})$となる。また、$g(x) \to g(x)$である。以上のことから、この方程式が純粋な時間のみの反転$t \to -t$のもとで不変であることがわかる。

(b) $\dot{x} = y$とおくと、$ \dot{x} = y, \ \ \dot{y} = -f(y) - g(x)$とこの系をベクトル化できる。このとき、この系の任意の固定点は$(x^*,0)$とおくことができる。ここで、$x^*$は$f(0)+g(x^*)=0$を満たす。
また、ヤコビ行列は、
\[ A = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ -\left. \frac{d g}{d x} \right|_{x^*} & -\left. \frac{d f}{d y} \right|_0 \end{pmatrix}, \ \
\tau = -\left. \frac{d f}{d y} \right|_0, \ \ \Delta = \left. \frac{d g}{d x} \right|_{x^*} \]となる。
ここで、$f$が偶関数であることを考慮すると、$y \to -y$に対して、
\[ \frac{d f(y)}{d y} \to \frac{d f(-y)}{d (-y)} = -\frac{d f(y)}{d y} \]となるので、
\[ \left. \frac{d f}{d y} \right|_0 = 0 \]となる。つまり、$\tau = 0$となるので、この系は安定なノードやスパイラルにはなりえないことがわかる。

ストロガッツ非線形ダイナミクスとカオス : 数学的基礎から物理・生物・化学・工学への応用まで(9784621085806)

投稿者：goodbook 投稿日：2020-11-30 05:16:36