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	P.200の問題番号「6.1.2」に対する解答 $\dot{x} = x - x^3, \ \ \dot{y} = -y$の相図ストロガッツ非線形ダイナミクスとカオス(9784621085806) 投稿者：goodbook 投稿日：2020-09-01 05:25:37
	P.200の問題番号「6.1.1」に対する解答 $\dot{x} = x-y, \ \ \dot{y}=1-e^x$の相図ストロガッツ非線形ダイナミクスとカオス(9784621085806) 投稿者：goodbook 投稿日：2020-08-31 04:56:50
	P.158の問題番号「5.2.14」に対する解答へのコメントサンプル数：1000000　としてモンテカルロ法を用いて実行（pythonで実施）まず、一様分布での結果サドル点となる確率： 0.499866 孤立していない固定点となる確率： 3e-06 安定ノードとなる確率： 0.089882 安定な縮退したノードとなる確率： 1e-06 安定スパイラルとなる確率： 0.15985 センターとなる確率： 0.0 不安定ノードとなる確率： 0.090461 不安定な縮退したノードとなる確率： 0.0 不安定スパイラルとなる確率： 0.159937 ・サドル点となる確率が$1/2$, ・安定、不安定ノードとなる確率がそれぞれ$9/100$ ・安定、不安定スパイラルとなる確率がそれぞれ$16/100$ であることが分かる。また、・センターなどのボーダーライン的存在となる確率は極めて低い。次に、（標準）正規分布での結果サドル点となる確率： 0.501157 孤立していない固定点となる確率： 2e-06 安定ノードとなる確率： 0.103476 安定な縮退したノードとなる確率： 1e-06 安定スパイラルとなる確率： 0.146217 センターとなる確率： 0.0 不安定ノードとなる確率： 0.10337 不安定な縮退したノードとなる確率： 0.0 不安定スパイラルとなる確率： 0.145777 一様分布のときと比べて、・安定、不安定ノードとなる確率が少し上がり・安定、不安定スパイラルとなる確率が少し下がる。ストロガッツ非線形ダイナミクスとカオス(9784621085806) 投稿者：goodbook 投稿日：2020-08-29 06:10:39
	P.158の問題番号「5.2.14」に対する解答へのコメントサンプル数：1000000　としてモンテカルロ法を用いて実行（pythonで実施）まず、一様分布での結果サドル点となる確率： 0.499866 孤立していない固定点となる確率： 3e-06 安定ノードとなる確率： 0.089882 安定な縮退したノードとなる確率： 1e-06 安定スパイラルとなる確率： 0.15985 センターとなる確率： 0.0 不安定ノードとなる確率： 0.090461 不安定な縮退したノードとなる確率： 0.0 不安定スパイラルとなる確率： 0.159937 ・サドル点となる確率が$1/2$, ・安定、不安定ノードとなる確率がそれぞれ$9/100$ ・安定、不安定スパイラルとなる確率がそれぞれ$16/100$ であることが分かる。また、・センターなどのボーダーライン的存在となる確率は極めて低い。次に、（標準）正規分布での結果サドル点となる確率： 0.501157 孤立していない固定点となる確率： 2e-06 安定ノードとなる確率： 0.103476 安定な縮退したノードとなる確率： 1e-06 安定スパイラルとなる確率： 0.146217 センターとなる確率： 0.0 不安定ノードとなる確率： 0.10337 不安定な縮退したノードとなる確率： 0.0 不安定スパイラルとなる確率： 0.145777 一様分布のときと比べて、・安定、不安定ノードとなる確率が少し上がり・安定、不安定スパイラルとなる確率が少し下がる。ストロガッツ非線形ダイナミクスとカオス : 数学的基礎から物理・生物・化学・工学への応用まで(9784621085806) 投稿者：goodbook 投稿日：2020-08-29 05:41:33
	P.159の問題番号「5.3.6」に対する解答 $\dot{R}= 0, \ \ \dot{J} = aR+bJ$ この方程式の一般解は \[ R(t) = C_R, \ \ J(t) = \frac{a C_R + b C_J}{b} e^{bt} - C_R \frac{a}{b} \]となる。 i) $b>0$の場合、$a C_R + b C_J>0$ならば、ジュリエットはロミオをどんどん好きになり、$a C_R + b C_J<0$ならば、ジュリエットはロミオをどんどん嫌いになる。 ii) $b<0, \ \ a>0$の場合、ロミオがジュリエットを好きならば、ジュリエットもロミオを好きな状態に落ち着き、ロミオがジュリエットを嫌いならば、ジュリエットもロミオを嫌いな状態に落ち着く。 iii) $b<0, \ \ a<0$の場合、ロミオがジュリエットを好きならば、ジュリエットはロミオを嫌いな状態に落ち着き、ロミオがジュリエットを嫌いならば、ジュリエットはロミオを好きな状態に落ち着く。ストロガッツ非線形ダイナミクスとカオス : 数学的基礎から物理・生物・化学・工学への応用まで(9784621085806) 投稿者：goodbook 投稿日：2020-07-28 06:41:30
	P.159の問題番号「5.3.5」に対する解答 $\dot{R}= aR + bJ, \ \ \dot{J} = bR+aJ$ この方程式を行列の形で書くと、 \[ \begin{pmatrix} \dot{R} \\ \dot{J} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} a & b \\ b & a \end{pmatrix} \begin{pmatrix} R \\ J \end{pmatrix} = A \begin{pmatrix} R \\ J \end{pmatrix} \]となる。このとき、行列$A$のトレース$\tau$と行列式$\Delta$は\[ \tau = 2a, \ \ \Delta = a^2-b^2, \ \ \tau^2 - 4 \Delta = 4 b^2 > 0 \]となる。また、行列$A$の固有値と固有ベクトルは \[ \lambda_1 = a+b, \ \ \boldsymbol{v}_1 = \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \end{pmatrix} \\ \lambda_2 = a-b, \ \ \boldsymbol{v}_2 = \begin{pmatrix} 1 \\ -1 \end{pmatrix} \]となる。 i) $a+b > a-b > 0$の場合、固定点のタイプは不安定ノードとなる。これは時間が経つと、お互いをどんどん好きになる、またはお互いをどんどん嫌いになることを示している。 ii) $a-b > a+b > 0$の場合、固定点のタイプは不安定ノードとなる。これは時間が経つと、一方が相手をどんどん好きになるが、もう一方は相手をどんどん嫌いになることを示している。 iii) $a+b>0, \ \ a-b<0$の場合、固定点のタイプはサドル点となる。これは時間が経つと、お互いをどんどん好きになる、またはお互いをどんどん嫌いになることを示している。 iv) $a+b<0, \ \ a-b>0$の場合、固定点のタイプはサドル点となる。これは時間が経つと、一方が相手をどんどん好きになるが、もう一方は相手をどんどん嫌いになることを示している。 v) $a+b<0, \ \ a-b<0$の場合、固定点のタイプは安定ノードとなる。これは時間が経つと、お互いに好き嫌いの感情が亡くなっていくことを示している。 vi) $a+b > 0, \ \ a-b = 0$の場合、固定点は孤立していない。これは時間が経つと、お互いをどんどん好きになる、またはお互いをどんどん嫌いになることを示している。 vii) $a-b > 0, \ \ a+b = 0$の場合、固定点は孤立していない。これは時間が経つと、一方が相手をどんどん好きになるが、もう一方は相手をどんどん嫌いになることを示している。 viii) $a+b < 0, \ \ a-b = 0$の場合、固定点は孤立していない。これは時間が経つと、一方が相手を好きになり、もう一方は相手を嫌いになる状態に落ち着いていくことを示している。 ix) $a-b < 0, \ \ a+b = 0$の場合、固定点は孤立していない。これは時間が経つと、お互いに相手を好きになるか、お互いに相手を嫌いになるかの状態に落ち着いていくことを示している。ストロガッツ非線形ダイナミクスとカオス : 数学的基礎から物理・生物・化学・工学への応用まで(9784621085806) 投稿者：goodbook 投稿日：2020-07-28 06:29:08
	P.158の問題番号「5.3.4」に対する解答 $\dot{R}= aR + bJ, \ \ \dot{J} = -bR-aJ$ この方程式を行列の形で書くと、 \[ \begin{pmatrix} \dot{R} \\ \dot{J} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} a & b \\ -b & -a \end{pmatrix} \begin{pmatrix} R \\ J \end{pmatrix} = A \begin{pmatrix} R \\ J \end{pmatrix} \]となる。このとき、行列$A$のトレース$\tau$と行列式$\Delta$は\[ \tau = 0, \ \ \Delta = -a^2+b^2 \]となる。 i) $a>b$の場合、固定点のタイプはサドル点となる。この場合、行列$A$の固有値と固有ベクトルは \[ \lambda_1 = \sqrt{a^2-b^2}, \ \ \boldsymbol{v}_1 = \begin{pmatrix} b \\ -a+\sqrt{a^2-b^2} \end{pmatrix} \\ \lambda_2 = -\sqrt{a^2-b^2}, \ \ \boldsymbol{v}_2 = \begin{pmatrix} b \\ -a - \sqrt{a^2-b^2} \end{pmatrix} \]となる。従って、$\boldsymbol{v}_1$方向が不安定多様体、$\boldsymbol{v}_2$方向が安定多様体となる。これは時間が経つと、一方が相手をどんどん好きになるが、もう一方は相手をどんどん嫌いになることを示している。 ii) $a=b$の場合、一般解は \[ R(t) = c_1 a t + c_1 + c_2 a, \ \ J(t) = -c_1 a t - c_2 a \]となる。これは時間が経つと、一方が相手をどんどん好きになるが、もう一方は相手をどんどん嫌いになることを示している。 iii) $a<b$の場合、固定点のタイプはセンターとなる。この場合、お互いに好きになったり、嫌いになったり、一方が相手を好きで、一方が相手を嫌いになったりを永遠に繰り返していくことになる。ストロガッツ非線形ダイナミクスとカオス : 数学的基礎から物理・生物・化学・工学への応用まで(9784621085806) 投稿者：goodbook 投稿日：2020-07-28 06:05:06
	P.158の問題番号「5.3.3」に対する解答 $\dot{R}= aJ, \ \ \dot{J} = bR$ この方程式を行列の形で書くと、 \[ \begin{pmatrix} \dot{R} \\ \dot{J} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 & a \\ b & 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} R \\ J \end{pmatrix} = A \begin{pmatrix} R \\ J \end{pmatrix} \]となる。このとき、行列$A$のトレース$\tau$と行列式$\Delta$は\[ \tau = 0, \ \ \Delta = -ab \]となる。 i) $a>0, \ \ b>0$の場合、固定点のタイプはサドル点となる。この場合、行列$A$の固有値と固有ベクトルは \[ \lambda_1 = \sqrt{ab}, \ \ \boldsymbol{v}_1 = \begin{pmatrix} \sqrt{a} \\ \sqrt{b} \end{pmatrix} \\ \lambda_2 = -\sqrt{ab}, \ \ \boldsymbol{v}_2 = \begin{pmatrix} \sqrt{a} \\ -\sqrt{b} \end{pmatrix} \]となる。従って、$\boldsymbol{v}_1$方向が不安定多様体、$\boldsymbol{v}_2$方向が安定多様体となる。これは時間が経つと、お互いをどんどん好きになる、またはお互いをどんどん嫌いになることを示している。 ii) $a<0, \ \ b<0$の場合、固定点のタイプはサドル点となる。この場合、行列$A$の固有値と固有ベクトルは \[ \lambda_1 = \sqrt{\|a\|\|b\|}, \ \ \boldsymbol{v}_1 = \begin{pmatrix} \sqrt{\|a\|} \\ -\sqrt{\|b\|} \end{pmatrix} \\ \lambda_2 = -\sqrt{\|a\|\|b\|}, \ \ \boldsymbol{v}_2 = \begin{pmatrix} \sqrt{\|a\|} \\ \sqrt{\|b\|} \end{pmatrix} \]となる。従って、$\boldsymbol{v}_1$方向が不安定多様体、$\boldsymbol{v}_2$方向が安定多様体となる。これは時間が経つと、一方が相手をどんどん好きになるが、もう一方は相手をどんどん嫌いになることを示している。 iii) $a>0, \ \ b<0$または$a<0, \ \ b>0$の場合、固定点のタイプはセンターとなる。この場合、お互いに好きになったり、嫌いになったり、一方が相手を好きで、一方が相手を嫌いになったりを永遠に繰り返していくことになる。ストロガッツ非線形ダイナミクスとカオス : 数学的基礎から物理・生物・化学・工学への応用まで(9784621085806) 投稿者：goodbook 投稿日：2020-07-28 05:27:08
	P.158の問題番号「5.3.2」に対する解答 $\dot{R}= J, \ \ \dot{J} = -R+J$ (a) ロミオは自分の感情には影響されず、ジュリエットが自分を好きなら、気勢が上がるし、疑問を嫌いなら気勢が下がる。一方、ジュリエットは自分がロミオに好意を抱けば気勢が上がるが、ロミオに好意を抱かれると逆に気勢が下がる。 (b) この方程式を行列の形で書くと、 \[ \begin{pmatrix} \dot{R} \\ \dot{J} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ -1 & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} R \\ J \end{pmatrix} = A \begin{pmatrix} R \\ J \end{pmatrix} \]となる。このとき、行列$A$のトレース$\tau$と行列式$\Delta$は\[ \tau = 1, \ \ \Delta = 1, \ \ \tau^2 - 4 \Delta = -3 \]であるので、原点にある固定点は不安定スパイラルとなる。これは、ロミオとジュリエットがお互いに好き嫌いを繰り返しながら、その感情はどんどん高まっていくことになる。 (c) この系の特性方程式は \[ \lambda^2 - \lambda + 1= 0 \]となるので、固有値とその固有ベクトルは \[ \lambda_1 = \frac{1+\sqrt{3}i}{2}, \ \ \boldsymbol{v}_1 = \begin{pmatrix} 1 \\ e^{\frac{\pi}{3}i} \end{pmatrix} \\ \lambda_2 = \frac{1-\sqrt{3}i}{2}, \ \ \boldsymbol{v}_2 = \begin{pmatrix} 1 \\ e^{-\frac{\pi}{3}i} \end{pmatrix} \]となる。従って、一般解は \[ \begin{pmatrix} R(t) \\ J(t) \end{pmatrix} = c_1 e^{\frac{1+\sqrt{3}i}{2}t} \begin{pmatrix} 1 \\ e^{\frac{\pi}{3}i} \end{pmatrix} + c_2 e^{\frac{1-\sqrt{3}i}{2}t} \begin{pmatrix} 1 \\ e^{-\frac{\pi}{3}i} \end{pmatrix} \]となる。$R(0) = 1, \ \ J(0) = 0$より、 \[ c_1 = \frac{-e^{-\frac{\pi}{3}i}}{e^{\frac{\pi}{3}i}-e^{-\frac{\pi}{3}i}}, \ \ c_2 = \frac{e^{\frac{\pi}{3}i}}{e^{\frac{\pi}{3}i}-e^{-\frac{\pi}{3}i}} \]となるので、 \[ R(t) = -\frac{2}{\sqrt{3}} e^{\frac{t}{2}} \sin \left( \frac{\sqrt{3}}{2} t - \frac{\pi}{3} \right) , \\ J(t) = -\frac{2}{\sqrt{3}} e^{\frac{t}{2}} \sin \frac{\sqrt{3}}{2} t \]となる。ストロガッツ非線形ダイナミクスとカオス : 数学的基礎から物理・生物・化学・工学への応用まで(9784621085806) 投稿者：goodbook 投稿日：2020-07-27 03:57:30
	P.158の問題番号「5.3.1」に対する解答 $a>0, \ \ b < 0$のときは、自分が相手を好きになればなるほど気勢が上がるが、自分が相手に好意を持たれると気勢が下がる。→追いかけたいタイプ $a<0, \ \ b < 0$のときは、自分が相手を好きになっても、自分が相手に好意を持たれても気勢が下がる。→天邪鬼タイプストロガッツ非線形ダイナミクスとカオス : 数学的基礎から物理・生物・化学・工学への応用まで(9784621085806) 投稿者：goodbook 投稿日：2020-07-25 17:31:12

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	P.200の問題番号「6.1.2」に対する解答 $\dot{x} = x - x^3, \ \ \dot{y} = -y$の相図ストロガッツ非線形ダイナミクスとカオス(9784621085806) 投稿者：goodbook 投稿日：2020-09-01 05:25:37
	P.200の問題番号「6.1.1」に対する解答 $\dot{x} = x-y, \ \ \dot{y}=1-e^x$の相図ストロガッツ非線形ダイナミクスとカオス(9784621085806) 投稿者：goodbook 投稿日：2020-08-31 04:56:50
	P.158の問題番号「5.2.14」に対する解答へのコメントサンプル数：1000000　としてモンテカルロ法を用いて実行（pythonで実施）まず、一様分布での結果サドル点となる確率： 0.499866 孤立していない固定点となる確率： 3e-06 安定ノードとなる確率： 0.089882 安定な縮退したノードとなる確率： 1e-06 安定スパイラルとなる確率： 0.15985 センターとなる確率： 0.0 不安定ノードとなる確率： 0.090461 不安定な縮退したノードとなる確率： 0.0 不安定スパイラルとなる確率： 0.159937 ・サドル点となる確率が$1/2$, ・安定、不安定ノードとなる確率がそれぞれ$9/100$ ・安定、不安定スパイラルとなる確率がそれぞれ$16/100$ であることが分かる。また、・センターなどのボーダーライン的存在となる確率は極めて低い。次に、（標準）正規分布での結果サドル点となる確率： 0.501157 孤立していない固定点となる確率： 2e-06 安定ノードとなる確率： 0.103476 安定な縮退したノードとなる確率： 1e-06 安定スパイラルとなる確率： 0.146217 センターとなる確率： 0.0 不安定ノードとなる確率： 0.10337 不安定な縮退したノードとなる確率： 0.0 不安定スパイラルとなる確率： 0.145777 一様分布のときと比べて、・安定、不安定ノードとなる確率が少し上がり・安定、不安定スパイラルとなる確率が少し下がる。ストロガッツ非線形ダイナミクスとカオス(9784621085806) 投稿者：goodbook 投稿日：2020-08-29 06:10:39
	P.158の問題番号「5.2.14」に対する解答へのコメントサンプル数：1000000　としてモンテカルロ法を用いて実行（pythonで実施）まず、一様分布での結果サドル点となる確率： 0.499866 孤立していない固定点となる確率： 3e-06 安定ノードとなる確率： 0.089882 安定な縮退したノードとなる確率： 1e-06 安定スパイラルとなる確率： 0.15985 センターとなる確率： 0.0 不安定ノードとなる確率： 0.090461 不安定な縮退したノードとなる確率： 0.0 不安定スパイラルとなる確率： 0.159937 ・サドル点となる確率が$1/2$, ・安定、不安定ノードとなる確率がそれぞれ$9/100$ ・安定、不安定スパイラルとなる確率がそれぞれ$16/100$ であることが分かる。また、・センターなどのボーダーライン的存在となる確率は極めて低い。次に、（標準）正規分布での結果サドル点となる確率： 0.501157 孤立していない固定点となる確率： 2e-06 安定ノードとなる確率： 0.103476 安定な縮退したノードとなる確率： 1e-06 安定スパイラルとなる確率： 0.146217 センターとなる確率： 0.0 不安定ノードとなる確率： 0.10337 不安定な縮退したノードとなる確率： 0.0 不安定スパイラルとなる確率： 0.145777 一様分布のときと比べて、・安定、不安定ノードとなる確率が少し上がり・安定、不安定スパイラルとなる確率が少し下がる。ストロガッツ非線形ダイナミクスとカオス : 数学的基礎から物理・生物・化学・工学への応用まで(9784621085806) 投稿者：goodbook 投稿日：2020-08-29 05:41:33
	P.159の問題番号「5.3.6」に対する解答 $\dot{R}= 0, \ \ \dot{J} = aR+bJ$ この方程式の一般解は \[ R(t) = C_R, \ \ J(t) = \frac{a C_R + b C_J}{b} e^{bt} - C_R \frac{a}{b} \]となる。 i) $b>0$の場合、$a C_R + b C_J>0$ならば、ジュリエットはロミオをどんどん好きになり、$a C_R + b C_J<0$ならば、ジュリエットはロミオをどんどん嫌いになる。 ii) $b<0, \ \ a>0$の場合、ロミオがジュリエットを好きならば、ジュリエットもロミオを好きな状態に落ち着き、ロミオがジュリエットを嫌いならば、ジュリエットもロミオを嫌いな状態に落ち着く。 iii) $b<0, \ \ a<0$の場合、ロミオがジュリエットを好きならば、ジュリエットはロミオを嫌いな状態に落ち着き、ロミオがジュリエットを嫌いならば、ジュリエットはロミオを好きな状態に落ち着く。ストロガッツ非線形ダイナミクスとカオス : 数学的基礎から物理・生物・化学・工学への応用まで(9784621085806) 投稿者：goodbook 投稿日：2020-07-28 06:41:30
	P.159の問題番号「5.3.5」に対する解答 $\dot{R}= aR + bJ, \ \ \dot{J} = bR+aJ$ この方程式を行列の形で書くと、 \[ \begin{pmatrix} \dot{R} \\ \dot{J} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} a & b \\ b & a \end{pmatrix} \begin{pmatrix} R \\ J \end{pmatrix} = A \begin{pmatrix} R \\ J \end{pmatrix} \]となる。このとき、行列$A$のトレース$\tau$と行列式$\Delta$は\[ \tau = 2a, \ \ \Delta = a^2-b^2, \ \ \tau^2 - 4 \Delta = 4 b^2 > 0 \]となる。また、行列$A$の固有値と固有ベクトルは \[ \lambda_1 = a+b, \ \ \boldsymbol{v}_1 = \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \end{pmatrix} \\ \lambda_2 = a-b, \ \ \boldsymbol{v}_2 = \begin{pmatrix} 1 \\ -1 \end{pmatrix} \]となる。 i) $a+b > a-b > 0$の場合、固定点のタイプは不安定ノードとなる。これは時間が経つと、お互いをどんどん好きになる、またはお互いをどんどん嫌いになることを示している。 ii) $a-b > a+b > 0$の場合、固定点のタイプは不安定ノードとなる。これは時間が経つと、一方が相手をどんどん好きになるが、もう一方は相手をどんどん嫌いになることを示している。 iii) $a+b>0, \ \ a-b<0$の場合、固定点のタイプはサドル点となる。これは時間が経つと、お互いをどんどん好きになる、またはお互いをどんどん嫌いになることを示している。 iv) $a+b<0, \ \ a-b>0$の場合、固定点のタイプはサドル点となる。これは時間が経つと、一方が相手をどんどん好きになるが、もう一方は相手をどんどん嫌いになることを示している。 v) $a+b<0, \ \ a-b<0$の場合、固定点のタイプは安定ノードとなる。これは時間が経つと、お互いに好き嫌いの感情が亡くなっていくことを示している。 vi) $a+b > 0, \ \ a-b = 0$の場合、固定点は孤立していない。これは時間が経つと、お互いをどんどん好きになる、またはお互いをどんどん嫌いになることを示している。 vii) $a-b > 0, \ \ a+b = 0$の場合、固定点は孤立していない。これは時間が経つと、一方が相手をどんどん好きになるが、もう一方は相手をどんどん嫌いになることを示している。 viii) $a+b < 0, \ \ a-b = 0$の場合、固定点は孤立していない。これは時間が経つと、一方が相手を好きになり、もう一方は相手を嫌いになる状態に落ち着いていくことを示している。 ix) $a-b < 0, \ \ a+b = 0$の場合、固定点は孤立していない。これは時間が経つと、お互いに相手を好きになるか、お互いに相手を嫌いになるかの状態に落ち着いていくことを示している。ストロガッツ非線形ダイナミクスとカオス : 数学的基礎から物理・生物・化学・工学への応用まで(9784621085806) 投稿者：goodbook 投稿日：2020-07-28 06:29:08
	P.158の問題番号「5.3.4」に対する解答 $\dot{R}= aR + bJ, \ \ \dot{J} = -bR-aJ$ この方程式を行列の形で書くと、 \[ \begin{pmatrix} \dot{R} \\ \dot{J} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} a & b \\ -b & -a \end{pmatrix} \begin{pmatrix} R \\ J \end{pmatrix} = A \begin{pmatrix} R \\ J \end{pmatrix} \]となる。このとき、行列$A$のトレース$\tau$と行列式$\Delta$は\[ \tau = 0, \ \ \Delta = -a^2+b^2 \]となる。 i) $a>b$の場合、固定点のタイプはサドル点となる。この場合、行列$A$の固有値と固有ベクトルは \[ \lambda_1 = \sqrt{a^2-b^2}, \ \ \boldsymbol{v}_1 = \begin{pmatrix} b \\ -a+\sqrt{a^2-b^2} \end{pmatrix} \\ \lambda_2 = -\sqrt{a^2-b^2}, \ \ \boldsymbol{v}_2 = \begin{pmatrix} b \\ -a - \sqrt{a^2-b^2} \end{pmatrix} \]となる。従って、$\boldsymbol{v}_1$方向が不安定多様体、$\boldsymbol{v}_2$方向が安定多様体となる。これは時間が経つと、一方が相手をどんどん好きになるが、もう一方は相手をどんどん嫌いになることを示している。 ii) $a=b$の場合、一般解は \[ R(t) = c_1 a t + c_1 + c_2 a, \ \ J(t) = -c_1 a t - c_2 a \]となる。これは時間が経つと、一方が相手をどんどん好きになるが、もう一方は相手をどんどん嫌いになることを示している。 iii) $a<b$の場合、固定点のタイプはセンターとなる。この場合、お互いに好きになったり、嫌いになったり、一方が相手を好きで、一方が相手を嫌いになったりを永遠に繰り返していくことになる。ストロガッツ非線形ダイナミクスとカオス : 数学的基礎から物理・生物・化学・工学への応用まで(9784621085806) 投稿者：goodbook 投稿日：2020-07-28 06:05:06
	P.158の問題番号「5.3.3」に対する解答 $\dot{R}= aJ, \ \ \dot{J} = bR$ この方程式を行列の形で書くと、 \[ \begin{pmatrix} \dot{R} \\ \dot{J} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 & a \\ b & 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} R \\ J \end{pmatrix} = A \begin{pmatrix} R \\ J \end{pmatrix} \]となる。このとき、行列$A$のトレース$\tau$と行列式$\Delta$は\[ \tau = 0, \ \ \Delta = -ab \]となる。 i) $a>0, \ \ b>0$の場合、固定点のタイプはサドル点となる。この場合、行列$A$の固有値と固有ベクトルは \[ \lambda_1 = \sqrt{ab}, \ \ \boldsymbol{v}_1 = \begin{pmatrix} \sqrt{a} \\ \sqrt{b} \end{pmatrix} \\ \lambda_2 = -\sqrt{ab}, \ \ \boldsymbol{v}_2 = \begin{pmatrix} \sqrt{a} \\ -\sqrt{b} \end{pmatrix} \]となる。従って、$\boldsymbol{v}_1$方向が不安定多様体、$\boldsymbol{v}_2$方向が安定多様体となる。これは時間が経つと、お互いをどんどん好きになる、またはお互いをどんどん嫌いになることを示している。 ii) $a<0, \ \ b<0$の場合、固定点のタイプはサドル点となる。この場合、行列$A$の固有値と固有ベクトルは \[ \lambda_1 = \sqrt{\|a\|\|b\|}, \ \ \boldsymbol{v}_1 = \begin{pmatrix} \sqrt{\|a\|} \\ -\sqrt{\|b\|} \end{pmatrix} \\ \lambda_2 = -\sqrt{\|a\|\|b\|}, \ \ \boldsymbol{v}_2 = \begin{pmatrix} \sqrt{\|a\|} \\ \sqrt{\|b\|} \end{pmatrix} \]となる。従って、$\boldsymbol{v}_1$方向が不安定多様体、$\boldsymbol{v}_2$方向が安定多様体となる。これは時間が経つと、一方が相手をどんどん好きになるが、もう一方は相手をどんどん嫌いになることを示している。 iii) $a>0, \ \ b<0$または$a<0, \ \ b>0$の場合、固定点のタイプはセンターとなる。この場合、お互いに好きになったり、嫌いになったり、一方が相手を好きで、一方が相手を嫌いになったりを永遠に繰り返していくことになる。ストロガッツ非線形ダイナミクスとカオス : 数学的基礎から物理・生物・化学・工学への応用まで(9784621085806) 投稿者：goodbook 投稿日：2020-07-28 05:27:08
	P.158の問題番号「5.3.2」に対する解答 $\dot{R}= J, \ \ \dot{J} = -R+J$ (a) ロミオは自分の感情には影響されず、ジュリエットが自分を好きなら、気勢が上がるし、疑問を嫌いなら気勢が下がる。一方、ジュリエットは自分がロミオに好意を抱けば気勢が上がるが、ロミオに好意を抱かれると逆に気勢が下がる。 (b) この方程式を行列の形で書くと、 \[ \begin{pmatrix} \dot{R} \\ \dot{J} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ -1 & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} R \\ J \end{pmatrix} = A \begin{pmatrix} R \\ J \end{pmatrix} \]となる。このとき、行列$A$のトレース$\tau$と行列式$\Delta$は\[ \tau = 1, \ \ \Delta = 1, \ \ \tau^2 - 4 \Delta = -3 \]であるので、原点にある固定点は不安定スパイラルとなる。これは、ロミオとジュリエットがお互いに好き嫌いを繰り返しながら、その感情はどんどん高まっていくことになる。 (c) この系の特性方程式は \[ \lambda^2 - \lambda + 1= 0 \]となるので、固有値とその固有ベクトルは \[ \lambda_1 = \frac{1+\sqrt{3}i}{2}, \ \ \boldsymbol{v}_1 = \begin{pmatrix} 1 \\ e^{\frac{\pi}{3}i} \end{pmatrix} \\ \lambda_2 = \frac{1-\sqrt{3}i}{2}, \ \ \boldsymbol{v}_2 = \begin{pmatrix} 1 \\ e^{-\frac{\pi}{3}i} \end{pmatrix} \]となる。従って、一般解は \[ \begin{pmatrix} R(t) \\ J(t) \end{pmatrix} = c_1 e^{\frac{1+\sqrt{3}i}{2}t} \begin{pmatrix} 1 \\ e^{\frac{\pi}{3}i} \end{pmatrix} + c_2 e^{\frac{1-\sqrt{3}i}{2}t} \begin{pmatrix} 1 \\ e^{-\frac{\pi}{3}i} \end{pmatrix} \]となる。$R(0) = 1, \ \ J(0) = 0$より、 \[ c_1 = \frac{-e^{-\frac{\pi}{3}i}}{e^{\frac{\pi}{3}i}-e^{-\frac{\pi}{3}i}}, \ \ c_2 = \frac{e^{\frac{\pi}{3}i}}{e^{\frac{\pi}{3}i}-e^{-\frac{\pi}{3}i}} \]となるので、 \[ R(t) = -\frac{2}{\sqrt{3}} e^{\frac{t}{2}} \sin \left( \frac{\sqrt{3}}{2} t - \frac{\pi}{3} \right) , \\ J(t) = -\frac{2}{\sqrt{3}} e^{\frac{t}{2}} \sin \frac{\sqrt{3}}{2} t \]となる。ストロガッツ非線形ダイナミクスとカオス : 数学的基礎から物理・生物・化学・工学への応用まで(9784621085806) 投稿者：goodbook 投稿日：2020-07-27 03:57:30
	P.158の問題番号「5.3.1」に対する解答 $a>0, \ \ b < 0$のときは、自分が相手を好きになればなるほど気勢が上がるが、自分が相手に好意を持たれると気勢が下がる。→追いかけたいタイプ $a<0, \ \ b < 0$のときは、自分が相手を好きになっても、自分が相手に好意を持たれても気勢が下がる。→天邪鬼タイプストロガッツ非線形ダイナミクスとカオス : 数学的基礎から物理・生物・化学・工学への応用まで(9784621085806) 投稿者：goodbook 投稿日：2020-07-25 17:31:12