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数学超絶難問(9784534051875)

P.115の問題番号「48」 に対する解答

別解法)
Aが1ゲーム目に勝つ確率は1/2でこれで対戦は終了。
一方、Aが1ゲーム目に負けると、この時のAとBの所持金は
それぞれ2円ずつの同額となる。そのため、
2ゲーム目以降のA,Bが勝つ確率は同じ1/2ずつとなる。
したがって、Aが対戦に勝つ確率Paは、
Pa = 1/2 + (1/2)*(1/2) = 3/4
となる。同様に、
Bが1ゲーム目に勝つと、この時のAとBの所持金は
それぞれ2円ずつの同額となる。そのため、
2ゲーム目以降のA,Bが勝つ確率は同じ1/2ずつとなる。
したがって、Aが対戦に勝つ確率Pbは、
Pb = (1/2)*(1/2) = 1/4
となる。結局、AとBの、対戦に勝つ確率の比は3:1。

数学超絶難問(9784534051875)

投稿者:goodbook 投稿日:2016-07-19 05:12:18

数学超絶難問(9784534051875)

P.113の問題番号「47」 に対する解答

p.114の別解答)
Aが2回の対戦で勝つ確率は、
Aが2連勝する確率であるので、
 (2/3)*(2/3) = 4/9。
次に、Aが4回の対戦で勝つ確率は、
最初の2回が1勝1敗でその後の2回をAが2連勝する確率であるので、
 {(2/3)*(1/3)+(1/3)*(2/3)}*(2/3)*(2/3) = (4/9)*(4/9)
このようにして、Aが6回の対戦で勝つ確率、8回で勝つ確率を計算すると、それぞれ、
 {(2/3)*(1/3)+(1/3)*(2/3)}^2*(2/3)*(2/3) = (4/9)^2*(4/9)
 {(2/3)*(1/3)+(1/3)*(2/3)}^3*(2/3)*(2/3) = (4/9)^3*(4/9)
と計算できるので、Aが対戦に勝つ確率はこれらの合計で
 P = 4/9 + (4/9)*(4/9) + (4/9)^2*(4/9) + (4/9)^3*(4/9) +…
となる。ここで、x < 1のとき、
 1 + x + x^2 + x^3 +… = 1/(1-x)
が成り立つことを考慮すると、
 P = (4/9) * (1 + 4/9 + (4/9)^2 + (4/9)^3 +… )
= (4/9) * 1/(1-4/9)
= 4/5
が得られる。

数学超絶難問(9784534051875)

投稿者:goodbook 投稿日:2016-07-18 07:13:03

数学超絶難問(9784534051875)

P.103の問題番号「43」 に対する解答

x^3 + y^3 = axy (a > 0)の第一象限にできる図形の面積。
この問題の別解答のポイントだけ。(p.104の解答の方がシンプル)

座標変換
 x = (x - y)/√2
 y = (x + y)/√2
を上記の式に代入して、整理すると、
 y^2 = (-√2 x^3 + a x^2)/(3√2 x + a )
と変形できる。このとき、図形はx軸について対称となることを考慮すると、
 面積S = 2∫√{(-√2 x^3 + a x^2)/(3√2 x + a )} dx
で計算できる。ここでxの積分範囲は0からa/√2まで。
あとは、変数変換
 3√2 x + a = 4 sin^2(θ) (π/6 ≦ θ ≦ π/2)
を行うと、比較的簡単に計算できる。

数学超絶難問(9784534051875)

投稿者:goodbook 投稿日:2016-07-14 06:28:55

数学超絶難問 : 時代を超えて天才の頭脳に挑戦!(9784534051875)

P.95の問題番号「39」 に対する解答

p.96の解答は正しい?

問題
 dの間隔で等間隔に引かれた平行線で覆われている水平面上に、
 長さr(≦d)の針を1本落としたとき、その針が平面上の線と交わる確率。

解説
今、xy平面を考え、x = …,-d, 0, d, …の位置に
y軸と平行な線が引かれているとする。
この平面上に、長さr(≦d)の針を落としたとき、
針の両端点A,Bが次のようになる場合を考える。
 Aの座標を(a,0)とする。ここで0≦a≦dとする。
 (つまり、端点Aはx軸上の0からdの範囲を動く。)
 Bの座標を(x,y)とする。ここでx≧a, y≧0とする。
針をどのように落としても、
座標変換を行うことで常にこの状態に変換することができる。

この状態での端点Bの軌跡を考えると、
端点Bは次の2つの領域に現れる。
領域α:長方形領域(0≦x≦d,0≦y≦r)から
    中心を原点(0,0),半径をr,頂角を0≦θ≦π/2とした扇形領域
    を除いた領域
    (ここで、θはx軸正の向きからのなす角)
領域β:中心を原点(d,0),半径をr,頂角を0≦θ≦π/2とした扇形領域

したがって、問題の「針が平行線に交わる」という状況は、
この場合、端点Bが領域βに現れるときのことになるので、
針が平行線に交わる確率は、
 領域βの面積/(領域αの面積+領域βの面積)
で表されるはず。
 領域βの面積 = πr^2 / 4
 領域αの面積+領域βの面積 = d r
となるので、結局、針が平行線に交わる確率は、
 πr/4d
となる。

※p.96の解答では、この確率は2r/πdとなっており、
上記の答えと異なっていますが、どこが間違っているのでしょうか。

数学超絶難問 : 時代を超えて天才の頭脳に挑戦!(9784534051875)

投稿者:goodbook 投稿日:2016-07-13 04:59:02

数学超絶難問 : 時代を超えて天才の頭脳に挑戦!(9784534051875)

P.87の問題番号「35」 に対する解答

1/(1-x) = 1 + x + x^2 + x^3 + x^4 + x^5 … [注:割り算をすれば導けます]
と書いてあったので、一応導出。

左辺の分子の「1」に対して
 1 = 1 - x + x
= 1 - x + x - x^2 + x^2
= 1 - x + x - x^2 + x^2 - x^3 + x^3
= 1 - x + x - x^2 + x^2 - x^3 + x^3 - x^4 + x^4
のように順々にxのべき乗項を足し引きしていく。その上で、
第1項と第2項、第3項と第4項、のように組み合わせていくと
 1 = (1 - x) + (1 - x) x + (1 - x) x^2 + (1 - x) x^3 + …
  = (1 - x)(1 + x + x^2 + x^3 + … )
となるので、この式の両辺を 1-x で割ると、
1/(1-x) = 1 + x + x^2 + x^3 + x^4 + x^5 …
が導ける。

数学超絶難問 : 時代を超えて天才の頭脳に挑戦!(9784534051875)

投稿者:goodbook 投稿日:2016-07-08 05:34:36

数学超絶難問 : 時代を超えて天才の頭脳に挑戦!(9784534051875)

P.81の問題番号「32」 に対する解答

補足)3次方程式なので、複素数解は3つ。
3次方程式 x^3 = m x + n の実数解を
  x = P + Q (ここで、P>Q)
とおく。このとき、p.82の解法から、Pは
 (∛p)^3 = P^3
の解である。したがって、この∛pについての3次方程式の複素数解は
 ∛p = P, Pω, P/ω (ここでω=e^{2πi/3})
の3つとなる。一方、∛qは
 3∛p∛q = m
を満たすことを考慮すると、上記∛pの解の順序に対応して、
 ∛q = Q, Q/ω, Qω
となる。したがって、3次方程式 x^3 = m x + n の複素数解は
 x = P + Q, Pω + Q/ω, P/ω + Qω
の3つとなる。

数学超絶難問 : 時代を超えて天才の頭脳に挑戦!(9784534051875)

投稿者:goodbook 投稿日:2016-07-06 04:31:00

数学超絶難問 : 時代を超えて天才の頭脳に挑戦!(9784534051875)

P.77の問題番号「30」 に対する解答

フィボナッチ数列の一般項についての(p.78とは別の)導出は、
http://www.rethac.com/book_info.php?isbn=9784569823560&SearchIndex=Books&tab=answer&id=18&mode=detail
に書いていました。

数学超絶難問 : 時代を超えて天才の頭脳に挑戦!(9784534051875)

投稿者:goodbook 投稿日:2016-07-01 04:36:24

数学超絶難問 : 時代を超えて天才の頭脳に挑戦!(9784534051875)

P.71の問題番号「27」 に対する解答

1+(1+2)+(1+2+3)+…+(1+2+…+n)
=1^2 + 3^2 +…+ n^2 (nが奇数)
=2^2 + 4^2 +…+ n^2 (nが偶数)

p.72とは別の証明)
1+2+…+n = n(n+1)/2
を利用すると、
 1+(1+2)+(1+2+3)+…+(1+2+…+n)
 = Σ_{k=1}^{n} k(k+1)/2 ・・・①
と書くことができる。ここで、
Σ_{k=1}^{n} はkについて1からnまでの和を表わす。

nが偶数の場合
n = 2m とおいて、①の右辺を奇数和と偶数和に分けて計算すると、
 ① = Σ_{k=1}^{m} 2k(2k+1)/2 + Σ_{k=1}^{m} (2k-1)(2k)/2
   = Σ_{k=1}^{m} (2k^2 + k) + Σ_{k=1}^{m} (2k^2 - k)
   = Σ_{k=1}^{m} (2k)^2
   = 2^2 + 4^2 +…+ n^2
が得られる。

nが奇数の場合
n = 2m+1 とおいて、①の右辺を奇数和と偶数和に分けて計算すると、
 ① = Σ_{k=1}^{m} 2k(2k+1)/2 + Σ_{k=1}^{m+1} (2k-1)(2k)/2
   = Σ_{k=1}^{m} {(2k-1)+1}{(2k-1)+2}/2 + Σ_{k=1}^{m} (2k-1){(2k-1)+1}/2
   + (m+1)(2m+1)
   = Σ_{k=1}^{m} (2k-1)^2 + Σ_{k=1}^{m} (4k-1) + (m+1)(2m+1)
   = Σ_{k=1}^{m} (2k-1)^2 + (2m+1)^2
   = Σ_{k=1}^{m+1} (2k-1)^2
   = 1^2 + 3^2 +…+ n^2
が得られる。

数学超絶難問 : 時代を超えて天才の頭脳に挑戦!(9784534051875)

投稿者:goodbook 投稿日:2016-06-29 05:22:05

数学超絶難問 : 時代を超えて天才の頭脳に挑戦!(9784534051875)

P.49の問題番号「18」 に対する解答

p.50の解答で、下記の公式が使われていたのでメモ。

任意の三角形ABCに対して
 BC^2 = AB^2 + AC^2 + 2・AB・AC cos(A)
が成り立つ。
証明)点Cから辺ABに対して下ろした垂線が交わる点をDとする。
このとき、直角三角形BCDから三平方の定理より、
 BC^2 = BD^2 + CD^2 …①
が得られる。一方、直角三角形ACDから
 AD = AC cos(A) …②
 CD = AC sin(A) …③
が得られるので、
 BD = AB - AD
であることを考慮して、①式に②③式を代入すると、
 BC^2 = (AB - AC cos(A))^2 + (AC sin(A))^2
となり、sin^2(A) + cos^2(A) = 1であるので、結局
 BC^2 = AB^2 + AC^2 + 2・AB・AC cos(A)
となる。

数学超絶難問 : 時代を超えて天才の頭脳に挑戦!(9784534051875)

投稿者:goodbook 投稿日:2016-06-18 05:51:00

数学超絶難問 : 時代を超えて天才の頭脳に挑戦!(9784534051875)

P.46の問題番号「16」 に対する解答

解答に対する補足
sin(54°) = (1 + √5)/4
がいきなり出てきたので、補足メモ。

1つの角が54°の直角三角形を考える。
この直角三角形のもう一つの角は36°。
そこで、θ=18°とすると、
 54°= 3θ
 36°= 2θ
と書くことができる。これを使うと直角三角形から、
 sin(3θ) = cos(2θ) …①
 cos(3θ) = sin(2θ) …②
という関係式が得られる。まず②式から、
 sin(θ)= (-1 + √5)/4
が得られる。これを①式の右辺に代入すると、
 sin(54°) = sin(3θ) = 1 - 2 sin^2(θ) = (1 + √5)/4
が得られる。

数学超絶難問 : 時代を超えて天才の頭脳に挑戦!(9784534051875)

投稿者:goodbook 投稿日:2016-06-17 06:29:13

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