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ストロガッツ非線形ダイナミクスとカオス(9784621085806)

P.319の問題番号「8.4.6」 に対する解答

平均化した系の固定点を$(r^*,\phi^*)$とおくと、
\[ \sin \phi^* = -\frac{k r^*}{F}, \ \ \cos \phi^* = \frac{r^*}{4F} (3b(r^*)^2-4a)\]を満たす。また、$r^*>0$であるので、$\phi^* \neq 2\pi n$であることがわかる。したがって、固定点$(r^*,\phi^*)$での、もとの駆動された振動子の軌道は
\[ x=r^* \cos (t+\phi^*), \ \ \dot{x}= - r^* \sin (t+\phi^*) \]となり、位相を$\phi^*$に位相ロックした周期解に対応する。
また、平均化した系でサドルノード分岐が起こるとすると、分岐点で半安定な固定点$(r^*,\phi^*)$が現れ、その後、固定点は安定な固定点$(r_1^*,\phi_1^*)$と不安定な固定点$(r_2^*,\phi_2^*)$に分裂する。これをもとの駆動された振動子の相平面上で見ると、分岐点で
\[ x=r^* \cos (t+\phi^*), \ \ \dot{x}=-r^* \sin (t+\phi^*) \]となる周期解が現れ、その後、周期解は
\[ x=r_1^* \cos (t+\phi_1^*), \ \ \dot{x}=-r_1^* \sin (t+\phi_1^*) \]と
\[ x=r_2^* \cos (t+\phi_2^*), \ \ \dot{x}=-r_2^* \sin (t+\phi_2^*) \]に分裂する。つまり、これは振動子の周期軌道のサドルノード分岐に対応することを示す。

ストロガッツ非線形ダイナミクスとカオス(9784621085806)

投稿者:goodbook 投稿日:2021-05-16 07:31:36

ストロガッツ非線形ダイナミクスとカオス(9784621085806)

P.318の問題番号「8.4.5」 に対する解答

駆動されたダフィン振動子$\ddot{x}+x+\varepsilon (bx^3+k \dot{x}-ax-F \cos t)=0$
解)$h(x,\dot{x})=bx^3+k \dot{x}-ax-F \cos t$とおき、$x=r \cos \theta, \ \ \dot{x}=-r \sin \theta$を代入すると、
\[ h(\theta) = br^3 \cos^3 \theta -kr \sin \theta -ar \cos \theta -F \cos (\theta - \phi) \]と書ける。したがって、平均化方程式は
\[ \begin{align}
r' &= \langle h \sin \theta \rangle \\
&= br^3 \langle \cos^3 \theta \sin \theta \rangle -kr \langle \sin^2 \theta \rangle -ar \langle \sin \theta \cos \theta \rangle -F \langle \sin \theta \cos ( \theta - \phi ) \rangle \\
&= -\frac{1}{2}kr-\frac{1}{2}F \sin \phi, \\
r \phi' &= \langle h \cos \theta \rangle \\
&= br^3 \langle \cos^4 \theta \rangle -kr \langle \sin \theta \cos \theta \rangle -ar \langle \cos^2 \theta \rangle -F \langle \cos \theta \cos ( \theta - \phi ) \rangle \\
&= \frac{3}{8}br^3-\frac{1}{2}ar-\frac{1}{2}F \cos \phi
\end{align} \]となるので、整理すると、
\[ r'=-\frac{1}{2}(kr+F \sin \phi), \ \ \phi'=-\frac{1}{8} \left( 4a-3br^2+\frac{4F}{r} \cos \phi \right) \]が得られる。

ストロガッツ非線形ダイナミクスとカオス(9784621085806)

投稿者:goodbook 投稿日:2021-05-06 04:44:23

ストロガッツ非線形ダイナミクスとカオス(9784621085806)

P.318の問題番号「8.4.4」 に対する解答

系$\ddot{\theta}+(1-\mu \cos \theta) \dot{\theta} + \sin \theta=0, \ \ \mu \geq 0$
解)$x=\theta, \ \ y=\dot{\theta}$とおくと、方程式は
$\dot{x}=y, \ \ \dot{y}=-(1-\mu \cos x)y-\sin x$
と書ける。この系の固定点は$(n \pi,0)$となる($n$は整数)。
\[ (2n\pi,0) \ : \ J = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ -1 & \mu-1 \end{pmatrix}, \ \ \tau=\mu-1, \ \ \Delta =1>0, \ \ \tau^2 - 4 \Delta = (\mu-1)^2-4 \]となるので、$\mu<1$のとき安定スパイラル、$1<\mu<3$のとき不安定スパイラル、$\mu>3$のとき不安定ノードとなる。
\[ ((2n+1)\pi,0) \ : \ J = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 1 & -\mu-1 \end{pmatrix}, \ \ \tau=-(\mu+1), \ \ \Delta =-1<0 \]となるので、サドルとなる。

この系の相図は添付図のようになる。$\mu=0$から始めて、$\mu$を大きくしていくと、$\mu=1$で超臨界ホップ分岐を起こし、安定なリミットサイクルが創造されることがわかる。さらに、$\mu$を大きくしていくと、リミットサイクルの一部がどんどんサドル点に近づいていき、$\mu=3.7245$付近でサドル点に触れて、ヘテロクリニック軌道となる。つまり、$\mu=3.7245$付近でサドルループ分岐を起こしていることがわかる。$\mu$がこの分岐を越えると、リミットサイクルは破壊される。

ストロガッツ非線形ダイナミクスとカオス(9784621085806)

投稿者:goodbook 投稿日:2021-05-05 09:50:27

ストロガッツ 非線形ダイナミクスとカオス(9784621085806)

P.318の問題番号「8.4.3」 に対する解答

系$\dot{x}=\mu x+y-x^2, \ \ \dot{y}=-x+\mu y+2x^2$
この系は2つの固定点
\[ (0,0), \ \ \left( \frac{\mu^2+1}{\mu+2}, \frac{(\mu^2+1)(1-2\mu)}{(\mu+2)^2} \right) \]をもつ。
\[ (0,0) \ : \ J = \begin{pmatrix} \mu & 1 \\ -1 & \mu \end{pmatrix}, \ \ \tau=2\mu, \ \ \Delta =\mu^2+1>0, \ \ \tau^2 - 4 \Delta = -4 \]となるので、$\mu<0$のとき安定スパイラル、$\mu>0$のとき不安定スパイラルとなる。
\[ \left( \frac{\mu^2+1}{\mu+2}, \frac{(\mu^2+1)(1-2\mu)}{(\mu+2)^2} \right) \ : \ J = \begin{pmatrix} \frac{-\mu^2+2\mu-2}{\mu+2} & 1 \\ \frac{4\mu^2-\mu+2}{\mu+2} & \mu \end{pmatrix}, \ \ \tau=\frac{4\mu-2}{\mu+2}, \ \ \Delta =-(\mu^2+1)<0 \]となるので、サドルとなる。

分岐の直上と直下での相図は添付図のようになる。数値的に調べると、ホモクリニック分岐を起こす値は約$0.066$と見積もることができる。

ストロガッツ 非線形ダイナミクスとカオス(9784621085806)

投稿者:goodbook 投稿日:2021-05-04 06:44:54

ストロガッツ 非線形ダイナミクスとカオス(9784621085806)

P.318の問題番号「8.4.2」 に対する解答へのコメント

系$\dot{r}=r(\mu-\sin r), \ \ \dot{\theta}=1$
$\mu<-1$のとき、系は原点を固定点とする安定スパイラルをもつ。$\mu$が増加していき、$\mu=-1$で半径$r=3\pi/2+2\pi n$の半安定な周期軌道が現れる。さらに、$\mu$が増加して$-1<\mu<0$になると、半安定なリミットサイクルは2つのリミットサイクルのペアに分裂し、内側に不安定なリミットサイクル、外側に安定なリミットサイクルが現れる。つまり、$\mu=-1$で周期軌道のサドルノード分岐を起こすことがわかる。

ストロガッツ 非線形ダイナミクスとカオス(9784621085806)

投稿者:goodbook 投稿日:2021-05-03 11:09:55

ストロガッツ 非線形ダイナミクスとカオス(9784621085806)

P.318の問題番号「8.4.2」 に対する解答へのコメント

系$\dot{r}=r(\mu-\sin r), \ \ \dot{\theta}=1$
$\mu<-1$のとき、系は原点を固定点とする安定スパイラルをもつ。$\mu$が増加していき、$\mu=-1$で半径$r=3\pi/2+2\pi n$の半安定な周期軌道が現れる。さらに、$\mu$が増加して$-1<\mu<0$になると、半安定なリミットサイクルは2つのリミットサイクルのペアに分裂し、内側に不安定なリミットサイクル、外側に安定なリミットサイクルが現れる。つまり、$\mu=-1$で周期軌道のサドルノード分岐を起こすことがわかる。

ストロガッツ 非線形ダイナミクスとカオス(9784621085806)

投稿者:goodbook 投稿日:2021-05-03 11:08:02

ストロガッツ 非線形ダイナミクスとカオス(9784621085806)

P.318の問題番号「8.4.2」 に対する解答

系$\dot{r}=r(\mu-\sin r), \ \ \dot{\theta}=1$
$\mu<-1$のとき、系は原点を固定点とする安定スパイラルをもつ。$\mu$が増加していき、$\mu=-1$で半径$r=3\pi/2+2\pi n$の半安定な周期軌道が現れる。さらに、$\mu$が増加して$-1<\mu<0$になると、半安定なリミットサイクルは2つのリミットサイクルのペアに分裂し、内側に不安定なリミットサイクル、外側に安定なリミットサイクルが現れる。つまり、$\mu=-1$で周期軌道のサドルノード分岐を起こすことがわかる。

ストロガッツ 非線形ダイナミクスとカオス(9784621085806)

投稿者:goodbook 投稿日:2021-05-03 11:06:52

ストロガッツ 非線形ダイナミクスとカオス(9784621085806)

P.318の問題番号「8.4.1」 に対する解答

系$\dot{r}=r(1-r^2), \ \ \dot{\theta}=\mu-\sin \theta$
$\mu=1.01$とし、初期値を$r=1, \ \ \theta=0$としたときの$x$および$y$の波形は添付図のようになる。

ストロガッツ 非線形ダイナミクスとカオス(9784621085806)

投稿者:goodbook 投稿日:2021-05-02 10:11:14

ストロガッツ 非線形ダイナミクスとカオス(9784621085806)

P.318の問題番号「8.3.3」 に対する解答

系\[ \dot{x}=a-x-\frac{4xy}{1+x^2}, \ \ \dot{y}=bx \left( 1-\frac{y}{1+x^2} \right) \] リミットサイクルを持つ場合を考える。$b \ll 1$の場合$|\dot{y}| \sim \mathcal{O}(b)$となるので、$a-x-\frac{4xy}{1+x^2} \sim \mathcal{O}(1)$の領域では、ベクトル場の流れの速度は水平方向に大きく、垂直方向には小さいため、軌道はほとんど水平方向に動く。初期条件がヌルクライン$y=(a-x)(1+x^2)/4x$より下側にある場合、$a-x-\frac{4xy}{1+x^2}>0$となるので、$\dot{x}>0$である。つまり軌道はヌルクラインに向かって横向き正の方向に動く。その後、軌道がヌルクラインにきわめて近接し、$y-(a-x)(1+x^2)/4x \sim \mathcal{O}(b)$となると、$\dot{x}$および$\dot{y}$は同程度の大きさをもち、ヌルクラインの近傍に沿ってゆっくりと$\mathcal{O}(b)$程度の速度で移動して添付図の点AまたはCの屈曲部に至り、再び横向きにジャンプする。

この系の固定点の$x$座標を$x^*$とおくと、
\[ x^* = \frac{a}{5}, \ \ \Delta = \frac{5bx^*}{1+(x^*)^2}, \ \ \tau = \frac{3(x^*)^2-5-bx^*}{1+(x^*)^2} \]となるので、分岐点は
\[ a_c = \frac{5(b+\sqrt{b^2+60})}{6} \]となる。したがって、分岐点近傍でのリミットサイクルの周期は
\[ T = \frac{2 \pi}{\sqrt{\Delta}} = 2 \pi \sqrt{\frac{48+b(b+\sqrt{b^2+60})}{15b(b+\sqrt{b^2+60})}} \approx 4 \pi \sqrt{\frac{ 2 \sqrt{15}}{75b} } \]と見積もることができる。

ストロガッツ 非線形ダイナミクスとカオス(9784621085806)

投稿者:goodbook 投稿日:2021-05-02 08:24:59

ストロガッツ 非線形ダイナミクスとカオス(9784621085806)

P.317の問題番号「8.3.2」 に対する解答

系$\dot{x}=a-x+x^2y, \ \ \dot{y}=b-x^2y$
(a) ヌルクライン$y=(x-a)/x^2$と$x$軸との交点$(a,0)$から始める。点$(a,0)$に接する直線をもう一つのヌルクライン$y=b/x^2$と交わる点$(x_1,y_1)$まで延ばす。次に、$x \geq a+b, \ \ y>(x-a)/x^2$の領域で$\dot{y}/\dot{x} \leq -1$となることを考慮して、点$(x_1,y_1)$から$x$軸と平行に点$(a+b,y_1)$まで線を延ばし、その後、点$(a+b,y_1)$から傾き$-1$の線を$y=(x-a)/x^2$と交わる点$(x_2,y_2)$まで延ばす。その点$(x_2,y_2)$から$x$軸に垂線を下ろすと、ここまで描いた線と$x$軸で囲まれた領域はトラッピング領域となる。添付図にトラッピング領域(緑の領域)を描く。
(b) この系の固定点は$(a+b,b/(a+b)^2)$。ヤコビ行列は
\[ J = \begin{pmatrix} -1 + \frac{2b}{a+b} & (a+b)^2 \\ -\frac{2b}{a+b} & -(a+b)^2 \end{pmatrix}, \ \ \tau=\frac{b-a-(a+b)^3}{a+b}, \ \ \Delta =(a+b)^2 \]となるので、$b-a<(a+b)^3$のとき安定スパイラルとなり、$b-a>(a+b)^3$のとき不安定スパイラルとなる。
(c) (b)の結果より$b-a<(a+b)^3$のとき$\tau<0, \ \ \Delta>0$であるので固有値の実部は負であり、$a, \ b$が変化し$b-a>(a+b)^3$となると$\tau>0, \ \ \Delta>0$となるので固有値の実部は正となる。つまり、$b-a=(a+b)^3$でホップ分岐を起こすことがわかる。
(d) この系の相図は添付図の上段2つの図のようになる。その結果、この系は超臨界ホップ分岐を起こすことがわかる。
(e) 固定点の$x$座標を$x^*=a+b$とおく。このとき、分岐の条件式から$b-a=(x^*)^3$となる。したがって、この2式から
\[ a=\frac{1}{2} x^* [1-(x^*)^2], \ \ b=\frac{1}{2} x^* [1+(x^*)^2] \]を得る。これらを使うと、分岐曲線は添付図の下図のようになる。

ストロガッツ 非線形ダイナミクスとカオス(9784621085806)

投稿者:goodbook 投稿日:2021-05-01 16:23:32

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