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ストロガッツ非線形ダイナミクスとカオス(9784621085806)

P.317の問題番号「8.3.1」 に対する解答

系$\dot{x}=1-(b+1)x+ax^2y, \ \ \dot{y}=bx-ax^2y$
(a) この系の固定点は$(1,b/a)$。ヤコビ行列は
\[ J = \begin{pmatrix} b-1 & a \\ -b & -a \end{pmatrix}, \ \ \tau=b-a-1, \ \ \Delta =a \]となるので、$b<a+1$のとき安定スパイラルとなり、$b>a+1$のとき不安定スパイラルとなる。
(b) 添付図参照。ヌルクラインは青線で、トラッピング領域は例えば緑色の領域のようにとれる。
(c) $b_c=a+1$とすると、(a)の結果より$b<b_c$のとき$\tau<0, \ \ \Delta>0$であるので固有値の実部は負であり、$b$が増加し$b>b_c$となると$\tau>0, \ \ \Delta>0$となるので固有値の実部は生となる。つまり、$b=b_c$でホップ分岐を起こすことがわかる。
(d) (b)の結果から添付図のようにトラッピング領域を構成できる。したがって、$b>b_c$のとき、固定点がリペラーになることを考慮すると、ポアンカレ-ベンディクソンの定理よりリミットサイクルが存在することがわかる。
(e) 振動数は分岐点における固有値の虚部によって近似されるので、
\[ \omega \approx \sqrt{\Delta} = \sqrt{a} \]となる。したがって、リミットサイクルの周期は
\[ T \approx \frac{2\pi}{\sqrt{a}} \]で近似される。

ストロガッツ非線形ダイナミクスとカオス(9784621085806)

投稿者:goodbook 投稿日:2021-05-01 06:01:44

ストロガッツ 非線形ダイナミクスとカオス(9784621085806)

P.315の問題番号「8.2.8」 に対する解答へのコメント

系$\dot{x}=x[x(1-x)-y], \ \ \dot{y}=y(x-a)$
(a) ヌルクラインは添付図の青いライン。
(b) 固定点は$(0,0), \ \ (1,0), \ \ (a, a-a^2)$の3点。以下、各固定点ごとに分類。
\[ (0,0) \ : \ J = \begin{pmatrix} 0 & 0 \\ 0 & -a \end{pmatrix}, \ \ \tau=-a, \ \ \Delta = 0, \ \ \tau^2 - 4 \Delta = a^2 \geq 0 \]となるので、孤立していない固定点と予想される。
\[ (1,0) \ : \ J = \begin{pmatrix} -1 & -1 \\ 0 & 1-a \end{pmatrix}, \ \ \tau=-a, \ \ \Delta = a-1, \ \ \tau^2 - 4 \Delta = (a-2)^2 \geq 0 \]となるので、$0 \leq a<1$のときサドル、$a>1$のとき安定ノードとなる。
\[ (a,a-a^2) \ : \ J = \begin{pmatrix} a-2a^2 & -a \\ a-a^2 & 0 \end{pmatrix}, \ \ \tau=a-2a^2, \ \ \Delta = a^2(1-a), \ \ \tau^2 - 4 \Delta = a^2(4a^2-3) \]となるので、$0 \leq a < \frac{1}{2}$のとき不安定スパイラル、$\frac{1}{2}<a<1$のとき安定な固定点となり、$a>1$のときサドルとなる。また、固有値は
\[ \lambda = \frac{a(1-2a) \pm a \sqrt{4a^2-3}}{2} \]となる。
(c) $a>1$における相図は添付図のようになる。ほぼすべての軌道は安定固定点$(1,0)$に向かう。つまり、捕食者は絶滅する。

ストロガッツ 非線形ダイナミクスとカオス(9784621085806)

投稿者:goodbook 投稿日:2021-04-29 10:52:01

ストロガッツ 非線形ダイナミクスとカオス(9784621085806)

P.317の問題番号「8.2.16」 に対する解答

系$\dot{x}=\mu x - y +x y^2, \ \ \dot{y}=x + \mu y + y^3$
ホップ分岐点で系は$\dot{x}=-y+x y^2, \ \ \dot{y}=x + y^3$となる。$\omega=1, \ \ f(x,y)=xy^2, \ \ g(x,y)=y^3$とおくと、
\[ f_x = y^2, \ \ f_y=2xy, \ \ g_x=0, \ \ g_y=3y^2, \\
f_{xx}=0, \ \ f_{xy}=2y=0, \ \ f_{yy}=2x=0, \ \ g_{xx}=0, \ \ g_{xy}=0, \ \ g_{yy}=6y=0, \\
f_{xxx}=0, \ \ f_{xyy}=2, \ \ g_{xxy}=0, \ \ g_{yyy}=6 \]となるので、$a=1/2$が得られる。したがって、この系は亜臨界ホップ分岐を起こすことがわかる。

ストロガッツ 非線形ダイナミクスとカオス(9784621085806)

投稿者:goodbook 投稿日:2021-04-28 06:20:55

ストロガッツ 非線形ダイナミクスとカオス(9784621085806)

P.317の問題番号「8.2.15」 に対する解答

系$\dot{x}=\mu x +y -x^2, \ \ \dot{y}=-x + \mu y + 2 x^2$
ホップ分岐点で系は$\dot{x}=y-x^2, \ \ \dot{y}=-x + 2 x^2$となる。$\omega=-1, \ \ f(x,y)=-x^2, \ \ g(x,y)=2x^2$とおくと、
\[ f_x = -2x, \ \ f_y=0, \ \ g_x=4x, \ \ g_y=0, \\
f_{xx}=-2, \ \ f_{xy}=0, \ \ f_{yy}=0, \ \ g_{xx}=4, \ \ g_{xy}=0, \ \ g_{yy}=0, \\
f_{xxx}=0, \ \ f_{xyy}=0, \ \ g_{xxy}=0, \ \ g_{yyy}=0 \]となるので、$a=-1/2$が得られる。したがって、この系は超臨界ホップ分岐を起こすことがわかる。
また、$\mu<0, \ \ \mu>0$での相図を描くと添付図のようになり、実際、超臨界ホップ分岐を起こしていることがわかる。

ストロガッツ 非線形ダイナミクスとカオス(9784621085806)

投稿者:goodbook 投稿日:2021-04-28 06:09:00

ストロガッツ 非線形ダイナミクスとカオス(9784621085806)

P.317の問題番号「8.2.14」 に対する解答

系$\dot{x}=\mu x + y -x^3, \ \ \dot{y}=-x + \mu y + 2 y^3$
ホップ分岐点で系は$\dot{x}=y-x^3, \ \ \dot{y}=-x +2 y^3$となる。$\omega=-1, \ \ f(x,y)=-x^3, \ \ g(x,y)=2y^3$とおくと、
\[ f_x = -3x^2, \ \ f_y=0, \ \ g_x=0, \ \ g_y=6y^2, \\
f_{xx}=-6x=0, \ \ f_{xy}=0, \ \ f_{yy}=0, \ \ g_{xx}=0, \ \ g_{xy}=0, \ \ g_{yy}=12y=0, \\
f_{xxx}=-6, \ \ f_{xyy}=0, \ \ g_{xxy}=0, \ \ g_{yyy}=12 \]となるので、$a=3/8$が得られる。したがって、この系は亜臨界ホップ分岐を起こすことがわかる。
また、$\mu<0, \ \ \mu>0$での相図を描くと添付図のようになり、実際、亜臨界ホップ分岐を起こしていることがわかる。

ストロガッツ 非線形ダイナミクスとカオス(9784621085806)

投稿者:goodbook 投稿日:2021-04-28 05:10:50

ストロガッツ 非線形ダイナミクスとカオス(9784621085806)

P.316の問題番号「8.2.13」 に対する解答

系$\dot{x}=y+ \mu x, \ \ \dot{y}=-x + \mu y - x^2 y$
ホップ分岐点で系は$\dot{x}=y, \ \ \dot{y}=-x - x^2 y$となる。$\omega=-1, \ \ f(x,y)=0, \ \ g(x,y)=-x^2y$とおくと、
\[ f_x = 0, \ \ f_y=0, \ \ g_x=-2xy, \ \ g_y=-x^2, \\
f_{xx}=0, \ \ f_{xy}=0, \ \ f_{yy}=0, \ \ g_{xx}=-2y=0, \ \ g_{xy}=-2x=0, \ \ g_{yy}=0, \\
f_{xxx}=0, \ \ f_{xyy}=0, \ \ g_{xxy}=-2, \ \ g_{yyy}=0 \]となるので、$a=-1/8$が得られる。したがって、この系は超臨界ホップ分岐を起こすことがわかる。
また、$\mu<0, \ \ \mu>0$での相図を描くと添付図のようになり、実際、超臨界ホップ分岐を起こしていることがわかる。

ストロガッツ 非線形ダイナミクスとカオス(9784621085806)

投稿者:goodbook 投稿日:2021-04-27 06:09:39

ストロガッツ 非線形ダイナミクスとカオス(9784621085806)

P.316の問題番号「8.2.12」 に対する解答

(a) 系$\dot{x}=-y+xy^2, \ \ \dot{y}=x-x^2$
解)この系では$\omega=1, \ \ f(x,y)=xy^2, \ \ g(x,y)=-x^2$となる。原点では
\[ f_x = y^2, \ \ f_y=2xy, \ \ g_x=-2x, \ \ g_y=0, \\
f_{xx}=0, \ \ f_{xy}=2y=0, \ \ f_{yy}=2x=0, \ \ g_{xx}=-2, \ \ g_{xy}=0, \ \ g_{yy}=0, \\
f_{xxx}=0, \ \ f_{xyy}=2, \ \ g_{xxy}=0, \ \ g_{yyy}=0 \]となるので、$a=1/8$が得られる。
(b) 系$\dot{x}=-y+ \mu x +xy^2, \ \ \dot{y}=x+ \mu y-x^2$は演習問題8.2.2より原点でホップ分岐を起こしている。また、(a)の結果からこの分岐は亜臨界であることがわかる。これは演習問題8.2.2-8.2.4の結果と一致する。

ストロガッツ 非線形ダイナミクスとカオス(9784621085806)

投稿者:goodbook 投稿日:2021-04-26 06:25:54

ストロガッツ 非線形ダイナミクスとカオス(9784621085806)

P.316の問題番号「8.2.11」 に対する解答

減衰を受けるダフィン振動子$\ddot{x}+\mu \dot{x} + x-x^3=0$
(a) $\dot{x}=y$とおくと、方程式は
\[ \dot{x}=y, \ \ \dot{y}=-\mu y -x+x^3 \]と書くことができる。この系の固定点は$(0,0), \ \ (\pm 1, 0)$。以下、各固定点について分類。
\[ (\pm 1, 0) \ : \ J = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 1 & -\mu \end{pmatrix}, \ \ \tau=-\mu, \ \ \Delta = -1<0 \]となるので、サドルとなる。
\[ (0, 0) \ : \ J = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ -1 & -\mu \end{pmatrix}, \ \ \tau=-\mu, \ \ \Delta = 1>0 \]となるので、$\mu>0$のとき、安定スパイラルとなり、$\mu$が$0$未満まで減少すると、不安定スパイラルに変わることがわかる。
(b) この系の相図を添付図に示す。相図より、$\mu=0$において、原点を囲む閉軌道の連続的な帯をもっているので、$\mu=0$における分岐がホップ分岐の退化版であることがわかる。

ストロガッツ 非線形ダイナミクスとカオス(9784621085806)

投稿者:goodbook 投稿日:2021-04-25 17:30:18

ストロガッツ 非線形ダイナミクスとカオス(9784621085806)

P.315の問題番号「8.2.10」 に対する解答

\[ \dot{x}=B-x-\frac{xy}{1+qx^2}, \ \ \dot{y}=A-\frac{xy}{1+qx^2} \] 解)この系の固定点は
\[ \left( B-A, \frac{A(1+q(B-A)^2)}{B-A} \right) \]となる。この固定点でのヤコビ行列は
\[ J = \begin{pmatrix} -1+\frac{A(q(B-A)^2-1)}{(B-A)(1+q(B-A)^2)} & -\frac{B-A}{1+q(B-A)^2} \\ \frac{A(q(B-A)^2-1)}{(B-A)(1+q(B-A)^2)} & -\frac{B-A}{1+q(B-A)^2} \end{pmatrix}, \\
\tau=\frac{q(2A-B)(B-A)^2-B-(B-A)^2}{(B-A)(1+q(B-A)^2)}, \ \ \Delta = \frac{B-A}{1+q(B-A)^2} \]となる。ホップ分岐が起こる条件は$\tau=0, \ \ \Delta>0$であることから、
\[ q = \frac{B+(B-A)^2}{(2A-B)(B-A)^2}, \ \ B>A \]のとき、ホップ分岐が起こることがわかる。また、$q>0$であるので、$A,B$に対する条件は、
\[ A<B<2A \]となる。これらの式を満たす$A,B,q$をそれぞれ$A_c, B_c, q_c$とおく。添付図に$A_c=2, \ \ B_c=3, \ \ q_c=4$としたとき、$B<B_c$と$B>B_c$の場合の相図を示す。$B<B_c$のとき、$\tau<0$となり、固定点は安定スパイラルになる。一方、$B>B_c$のとき$\tau>0$となり、固定点は不安定スパイラルとなり、その周りに安定なリミットサイクルが現れる。したがって、この系は超臨界ホップ分岐を起こしていることがわかる。

ストロガッツ 非線形ダイナミクスとカオス(9784621085806)

投稿者:goodbook 投稿日:2021-04-25 07:56:32

ストロガッツ 非線形ダイナミクスとカオス(9784621085806)

P.315の問題番号「8.2.9」 に対する解答

\[ \dot{x}=x(b-x-\frac{y}{1+x}), \ \ \dot{y}=y(\frac{x}{1+x}-ay) \] (a) この系のヌルクラインは$\dot{x}=0, \ \dot{y}=0$より、$x=0, \ \ y=(1+x)(b-x), \ \ y=0, \ \ y=\frac{x}{a(1+x)}$となる。これらを描くと、添付図の青いラインのようになる。
(b) すべての$a,b>0$において、ヌルクライン$y=(1+x)(b-x)$は点$(b,0)$と点$(0,b)$を通り、一方、$y=\frac{x}{a(1+x)}$は原点を通り、$y=1/a$に$x$が正の向きに漸近する関数になっているので、この2つのヌルクラインは必ず第1象限で交わる。つまり、正の固定点$x^*>0, \ \ y^*>0$が存在することがわかる。
(c) この系の固定点は$(0,0), \ \ (b,0), \ \ (x^*,y^*)$の3点。このうち、$(0,0)$は孤立していない固定点と予想され、$(b,0)$はサドルとなる。
\[ (x^*,y^*) \ : \ J = \frac{1}{1+x^*} \begin{pmatrix} x^*((b-1)-2x^*) & -x^* \\ b-x^* & -x^* \end{pmatrix}, \\
\tau=\frac{x^*((b-2)-2x^*)}{1+x^*}, \ \ \Delta = \frac{x^*(b-bx^*+2x^{*2})}{(1+x^*)^2} \]となる。ここで、$\tau=0$より$2x^*=b-2$が得られ、このとき、
\[ \Delta=\frac{4(b-2)}{b^2}, \ \ \tau^2-4\Delta=-\frac{16(b-2)}{b^2} \]となるので、$b>2$のとき、ホップ分岐が起こることがわかる。また、このとき、
\[ a_c=\frac{x^*}{(b-x^*)(1+x^*)^2}=\frac{4(b-2)}{b^2(b+2)} \]となる。
(d) まず、$a$と$x^*$の関係を考える。$b$の値が固定されているとすると、ヌルクライン$y=(1+x)(b-x)$も固定される。このとき、$a$を大きくしていくと、ヌルクライン$y=\frac{x}{a(1+x)}$は$y=0$に近づいていくので、$x^*$は大きくなりながら、$b$に近づいていくことがわかる。したがって、$a>a_c$のとき$\tau<0$、$a<a_c$のとき$\tau>0$となる。これを踏まえて、$b=3, \ \ a_c=4/45$のときの相図を描くと添付図のようになり、この系は$a>a_c$のとき$(x^*,y^*)$は安定スパイラルとなり、$a<a_c$のとき$(x^*,y^*)$は不安定スパイラルで、その周りに安定なリミットサイクルを持つので、超臨界ホップ分岐を起こすことわかる。

ストロガッツ 非線形ダイナミクスとカオス(9784621085806)

投稿者:goodbook 投稿日:2021-04-23 05:31:43

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