ストロガッツ非線形ダイナミクスとカオス　の読書会ページ

したがって、$\mathcal{O}(1)$の方程式を解くと、
\[ x_0(\tau) = a \cos \tau \]を得る。次に、$\mathcal{O}(\varepsilon)$の方程式の右辺に$x_0$を代入して、次の式により$\cos \tau$に比例する項の係数を計算すると、
\[ \langle ( - 2 \omega_1 x_0'' + x_0^3 ) \cos \tau \rangle = a \omega_1 + \frac{3}{8} a^3 \]となるので、永年項を回避するために、
\[ \omega_1 = - \frac{3}{8} a^2 \]が得られる。また、このとき、
\[ x_1(\tau) = \frac{1}{8} a^3 \sin^2 \tau \cos \tau \]となる。さらに、$\mathcal{O}(\varepsilon^2)$の方程式の右辺に$x_0, \ \ x_1, \ \ \omega_1$を代入して、次の式により$\cos \tau$に比例する項の係数を計算すると、
\[ \langle ( - ( \omega_1^2 + 2 \omega_2) x_0'' - 2 \omega_1 x_1'' + 3 x_0^2 x_1 ) \cos \tau \rangle = a \omega_2 + \frac{21}{256} a^5 \]となるので、永年項を回避するために、
\[ \omega_2 = - \frac{21}{256} a^4 \]が得られる。このとき、
\[ \begin{align}
x_2(\tau) &= a^5 \left( \frac{1}{16} \sin^6 \tau + \frac{15}{128} \sin^4 \tau - \frac{15}{256} \right) \cos \tau \\
&+ a^5 \left( \frac{21}{256} \cos^3 \tau - \frac{27}{2048} \cos 3 \tau - \frac{23}{2048} \cos 5 \tau + \frac{1}{1024} \cos 7 \tau \right)
\end{align} \]となる。さらに、$\mathcal{O}(\varepsilon^3)$の方程式の右辺に$x_0, \ \ x_1, \ \ x_2, \ \ \omega_1, \ \ \omega_2$を代入して、次の式により$\cos \tau$に比例する項の係数を計算すると、
\[ \langle ( - 2 ( \omega_1 \omega_2 + \omega_3 ) x_0'' - ( \omega_1^2 + 2 \omega_2) x_1'' - 2 \omega_1 x_2'' + 3 x_0 x_1^2 + 3 x_0^2 x_2 ) \cos \tau \rangle = a \omega_3 + \frac{81}{2048} a^7 \]となるので、永年項を回避するために、
\[ \omega_3 = - \frac{81}{2048} a^6 \]が得られる。
したがって、系の振動数は
\[ \omega = 1 - \frac{3}{8} \varepsilon a^2 - \frac{21}{256} \varepsilon^2 a^4 - \frac{81}{2048} \varepsilon^3 a^6 + \mathcal{O}(\varepsilon^4) \]となる。

投稿者：goodbook 投稿日時：2021-03-16 06:10:36