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半径１、中心角２θの扇形の重心の位置は？
p.36とは別の解法）
この扇形を「頂角2θの二等辺三角形の部分」と「扇形から二等辺三角形を引いた部分」
に分けて考える。
このとき、扇形の重心を計算する式の分母は、
x・2x tan(θ) をxについて0からcos(θ）まで積分したもの(二等辺三角形部分)と、
x・2√(1-x^2) をxについてcos(θ）から1まで積分したもの(残り部分)の和となり、
計算すると、
　2sin(θ)/3
となる。一方、中心角２θの扇形の面積はθとなるので、扇形の重心位置は
　2sin(θ)/(3θ)
となる。

なお、p.36の解説で、
『極微の世界では扇形の面積は三角形と同じで、
中心角Δθの扇形の重心は原点から2/3のところにある（27ページ例題１を参照）。』
とある。間違ってないが、27ページの例題１は、直角二等辺三角形の例であり、
頂角Δθの二等辺三角形の重心ではないことに注意。
厳密には、頂角Δθの二等辺三角形の重心は、
　2cos(Δθ/2)/3
となり、Δθが十分小さいとすると、近似的に
　2/3
が得られる。

解答者：goodbook 解答日時：2016-06-15 06:26:22

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