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半径１の半球殻の重心の位置は？
に対するp.40とは別の解法（極座標表示を使う）

この半球殻を北半球（殻）として、
球の中心と北極を結ぶ線がz軸となるように、3次元座標を設定する。
このとき、この半球殻の重心はz軸上にあり、重心を求める式は、
　重心 = ∫z dx dy dz / (2π)
を半球殻上で積分したものとなる。
3次元空間の点（x,y,z）は、極座標表示すると、
　x = r sin(θ) cos(φ)
　y = r sin(θ) sin(φ)
　z = r cos(θ)
と表わすことができる。ここで、
　rは中心からの距離、
　θはz軸との成す角（0≦θ≦π）、
　φはxy平面上でのx軸との成す角（0≦φ≦2π）
である。
また、dx dy dzを極座標で表わすと、
　dx dy dz = r^2 sin(θ) dr dθ dφ
となる。したがって、重心を極座標表示すると、
半球殻の半径は1であることを考慮して
　重心 = ∫cos(θ)sin(θ)dθdφ / (2π)
となる。ここで、積分範囲は0≦θ≦π/2、0≦φ≦2π。
cos^2(θ)の微分が-2cos(θ)sin(θ)となることを考慮すると、
　重心 = 1/2
が求まる。

解答者：goodbook 解答日時：2016-06-16 06:25:49

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