数学超絶難問　の読書会ページ

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1+(1+2)+(1+2+3)+…+(1+2+…+n)
=1^2 + 3^2 +…+ n^2 (nが奇数）
=2^2 + 4^2 +…+ n^2 (nが偶数）

p.72とは別の証明）
1+2+…+n = n(n+1)/2
を利用すると、
　1+(1+2)+(1+2+3)+…+(1+2+…+n)
　= Σ_{k=1}^{n} k(k+1)/2　・・・①
と書くことができる。ここで、
Σ_{k=1}^{n}　はkについて1からnまでの和を表わす。

nが偶数の場合
n = 2m とおいて、①の右辺を奇数和と偶数和に分けて計算すると、
　① = Σ_{k=1}^{m} 2k(2k+1)/2 + Σ_{k=1}^{m} (2k-1)(2k)/2
　　 = Σ_{k=1}^{m} (2k^2 + k) + Σ_{k=1}^{m} (2k^2 - k)
　　 = Σ_{k=1}^{m} (2k)^2
　　 = 2^2 + 4^2 +…+ n^2
が得られる。

nが奇数の場合
n = 2m+1 とおいて、①の右辺を奇数和と偶数和に分けて計算すると、
　① = Σ_{k=1}^{m} 2k(2k+1)/2 + Σ_{k=1}^{m+1} (2k-1)(2k)/2
　　 = Σ_{k=1}^{m} {(2k-1)+1}{(2k-1)+2}/2 + Σ_{k=1}^{m} (2k-1){(2k-1)+1}/2
　　 + (m+1)(2m+1)
　　 = Σ_{k=1}^{m} (2k-1)^2 + Σ_{k=1}^{m} (4k-1) + (m+1)(2m+1)
　　 = Σ_{k=1}^{m} (2k-1)^2 + (2m+1)^2
　　 = Σ_{k=1}^{m+1} (2k-1)^2
　　 = 1^2 + 3^2 +…+ n^2
が得られる。

解答者：goodbook 解答日時：2016-06-29 05:22:05

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