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p.96の解答は正しい？

問題
　dの間隔で等間隔に引かれた平行線で覆われている水平面上に、
　長さr(≦d)の針を1本落としたとき、その針が平面上の線と交わる確率。

解説
今、xy平面を考え、x = …,-d, 0, d, …の位置に
y軸と平行な線が引かれているとする。
この平面上に、長さr(≦d)の針を落としたとき、
針の両端点A,Bが次のようになる場合を考える。
　Aの座標を(a,0)とする。ここで0≦a≦dとする。
　（つまり、端点Aはx軸上の0からdの範囲を動く。）
　Bの座標を(x,y)とする。ここでx≧a, y≧0とする。
針をどのように落としても、
座標変換を行うことで常にこの状態に変換することができる。

この状態での端点Bの軌跡を考えると、
端点Bは次の２つの領域に現れる。
領域α：長方形領域(0≦x≦d,0≦y≦r)から
　　　　中心を原点(0,0),半径をr,頂角を0≦θ≦π/2とした扇形領域
　　　　を除いた領域
　　　　（ここで、θはx軸正の向きからのなす角）
領域β：中心を原点(d,0),半径をr,頂角を0≦θ≦π/2とした扇形領域

したがって、問題の「針が平行線に交わる」という状況は、
この場合、端点Bが領域βに現れるときのことになるので、
針が平行線に交わる確率は、
　領域βの面積/(領域αの面積+領域βの面積)
で表されるはず。
　領域βの面積 = πr^2 / 4
　領域αの面積+領域βの面積 = d r
となるので、結局、針が平行線に交わる確率は、
　πr/4d
となる。

※p.96の解答では、この確率は2r/πdとなっており、
上記の答えと異なっていますが、どこが間違っているのでしょうか。

解答者：goodbook 解答日時：2016-07-13 04:59:02

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