数学超絶難問　の読書会ページ

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p.114の別解答）
Aが2回の対戦で勝つ確率は、
Aが2連勝する確率であるので、
　(2/3)*(2/3) = 4/9。
次に、Aが4回の対戦で勝つ確率は、
最初の2回が1勝1敗でその後の2回をAが2連勝する確率であるので、
　{(2/3)*(1/3)+(1/3)*(2/3)}*(2/3)*(2/3) = (4/9)*(4/9)
このようにして、Aが6回の対戦で勝つ確率、8回で勝つ確率を計算すると、それぞれ、
　{(2/3)*(1/3)+(1/3)*(2/3)}^2*(2/3)*(2/3) = (4/9)^2*(4/9)
　{(2/3)*(1/3)+(1/3)*(2/3)}^3*(2/3)*(2/3) = (4/9)^3*(4/9)
と計算できるので、Aが対戦に勝つ確率はこれらの合計で
　P = 4/9 + (4/9)*(4/9) + (4/9)^2*(4/9) + (4/9)^3*(4/9) +…
となる。ここで、x < 1のとき、
　1 + x + x^2 + x^3 +… = 1/(1-x)
が成り立つことを考慮すると、
　P = (4/9) * (1 + 4/9 + (4/9)^2 + (4/9)^3 +… )
= (4/9) * 1/(1-4/9)
= 4/5
が得られる。

解答者：goodbook 解答日時：2016-07-18 07:13:03

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